Modellizzazione cinetica di scambi finanziari e ricostruzione dei profili di ricchezza.

In this thesis we introduce a kinetic model to estimate the wealth distribution of customers’ population of a bank, starting from a sample of known accounts of another bank and analyzing the continuous wealth exchanges, called transactions. Supposing the sample f to be much smaller than the entire population M, the evolution of the density functions characterizing f and M is described by a system of the homogeneous Boltzmann equations: a nonlinear one for the time-evolution of M and a linear one, respect to M, for the time-evolution of the sample f. In the first part of the thesis we study the direct Cauchy problem by proving existence and uniqueness of solutions f and M to the homogeneous Boltzmann equations. In the second part we treat the linear equation as an inverse problem, where the density function of the sample f is supposed to be completely determined and the wealth distribution M has to be recovered by inverting the collision operator. The inversion problem is analyzed applying a numerical approach: using numerical approximations we can rewrite the linear equation in discretized form and compute the numerical matrix, which depends on the known density f. By inverting this matrix, it is thus possible to determine the wealth distribution M. To support the validity of our kinetic model, we implemented a Matlab code where, starting from various initial densities for f and M, the agents (clients) and the relative transactions are randomly chosen, modifying in this way the initial wealth distribution for the entire population (f and M). The linear equation is then numerically inverted using the updated density f, obtained by the different transactions, allowing the calculation of a approximated density function M, which has a similar profile to the one randomly generated from the initial data. Finally, some numerical examples are presented in order to show advantages and drawbacks of our scheme for different initial data.

Nella presente tesi viene introdotto un modello cinetico per stimare la distribuzione della ricchezza dei clienti di una banca, partendo da un campione di conti noti di un’altra banca e dall’analisi dei continui scambi di ricchezza, chiamati transazioni. Supponendo che il campione f sia molto più piccolo della popolazione M, l'evoluzione delle funzioni di densità che caratterizzano f e M viene descritta da un sistema di equazioni omogenee di Boltzmann: una non lineare per l'evoluzione temporale di M, una lineare, rispetto a M, per l'evoluzione temporale di f. Nella prima parte della tesi si studia il problema diretto di Cauchy dimostrando l'esistenza e l'unicità delle soluzioni f e M alle equazioni omogenee di Boltzmann. Nella seconda parte, invece, viene studiato l'equazione lineare come problema inverso, dove la funzione di densità del campione f risulta essere completamente determinata, mentre la distribuzione della ricchezza M viene ricalcolata invertendo l'operatore di collisione. Il problema dell'inversione viene analizzato seguendo un approccio numerico: utilizzando approssimazioni numeriche possiamo quindi riscrivere l'equazione lineare in forma discretizzata e calcolare la matrice del sistema, che dipende dalla densità nota f. Attraverso l’inversione di tale matrice potremo quindi determinare una stima della distribuzione di ricchezza M. A supporto del nostro modello cinetico, è stato implementato un programma in Matlab in cui, a partire da varie densità iniziali di f e M, gli agenti (clienti) e le relative transazioni risultano scelti con un processo random, così da modificare la distribuzione iniziale della ricchezza per l'intera popolazione (f e M). L'equazione lineare viene quindi invertita numericamente, così da determinare un’ approssimazione della funzione di densità M, avente un profilo simile a quello generato dai dati iniziali del problema diretto. Infine, vengono presentati alcuni esempi numerici al fine di mostrare vantaggi e svantaggi del nostro schema per diversi dati iniziali.