Proprietà di Opial in spazi di Wasserstein e alcune applicazioni

Aim of the thesis is to prove that an Opial property holds in the 2-Wasserstein space of probability measures on a separable Hilbert space. The Opial property is an abstract property characterizing weak convergence of a suitable class of Banach spaces, and it plays an important role in the study of weak convergence of iterates of mappings and of the asymptotic behaviour of semigroups. Its name is attribuited to Zdzisław Opial, who proved in his work “Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings” (1967) that every Hilbert space has this property. It is possible to define this property also in metric spaces provided with a suitable notion of weak convergence. This is the case of spaces of probability measures endowed with the Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein metric deriving by optimal transport. In this work we prove that an Opial property holds in the 2-Wasserstein space where the notion of weak convergence is induced by the narrow topology. This thesis is divided in two parts. In the first one (chapters 1-3) we collect various preliminary results about measure theory, optimal transport problems, Wasserstein distance, and Gradient Flows in metric spaces. The last part (chapter 4) contains the main original contributions of the thesis: the Opial property in the 2-Wasserstein space and some interesting applications.

Scopo della tesi è il dimostrare che vale una proprietà di Opial per lo Wasserstein di misure di probabilità definite su uno spazio di Hilbert separabile. La proprietà di Opial è una proprietà astratta di alcuni spazi di Banach e gioca un ruolo importante nello studio della convergenza debole di mappe iterate e nel comportamento asintotico dei semigruppi. Il suo nome è attribuito a Zdzisław Opial che fu il primo a dimostrare nel suo lavoro “Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings” (1967) che ogni spazio di Hilbert presenta tale proprietà. È possibile definire la proprietà di Opial anche in spazi metrici forniti di una adatta nozione di convergenza debole. Questo è il caso di spazi di probabilità dotati della metrica di Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein, derivante dal trasporto ottimo. In questo lavoro dimostriamo che vale una proprietà di Opial per il secondo spazio di Wasserstein, dove la nozione di convergenza debole che andiamo a considerare è quella indotta dalla topologia narrow. La tesi è divisa in due parti. Nella prima parte (capitoli 1-3) sono richiamati vari risultati riguardanti la teoria della misura, problemi di trasporto ottimo, distanza di Wasserstein, e Flussi Gradiente in spazi metrici. L'ultima parte (capitolo 4) contiene i contenuti originali della tesi: la proprietà di Opial nel secondo spazio di Wasserstein e alcune interessanti applicazioni.