Stability analysis, controller synthesis and trajectory tracking through Sum Of Squares programming

The work presented in this Master Thesis is focused Sum Of Squares (SOS) programming, a powerful mathematical tool, and its application to control theory. SOS is used to define Lyapunov functions for polynomial systems and to prove the stability of the equilibria of such systems using the direct Lyapunov method and the Positivstellensatz theorems. Almost all the algorithms described in the Thesis are based on these theoretical notions. Initially, the theory is applied in order to maximize the region of attraction of an equilibrium point of the (autonomous) system under consideration: two different approaches of the Positivstellensatz are considered and compared. Afterwards, the algorithms used to synthesize the controller capable of expanding the region of attraction of the equilibrium point of the examined system are described. Also in this case, two versions of the Positivstellensatz are applied and compared. Constraints on states and inputs are introduced in order to make the controller design as realistic as possible. Finally, a procedure for designing a time-varying controller capable of maximizing the funnel around a nominal trajectory that the system must follow is described. The funnel is the set of regions of attraction obtained around the nominal trajectory, starting from which the system is able to converge to the desired trajectory. Again, the presented algorithms are written in such a way that the synthesized controller takes into account any constraints on the inputs.

Analisi di stabilità, sintesi del controllore e tracking di traiettoria mediante Programmazione Sum Of Squares. Il lavoro presentato in questa Tesi si incentra sulla programmazione Sum Of Squares (SOS), un potente tool matematico che, in questo elaborato, viene applicato alla teoria dei controlli. Questo tool è utilizzato per de_nire delle funzioni di Lyapunov per sistemi polinomiali e per dimostrare la stabilità dei punti di equilibrio di tali sistemi ci si avvale di teorie note come il metodo diretto di Lyapunov ed i teoremi Positivstellensatz. Su queste nozioni teoriche si basano quasi tutti gli algoritmi descritti nella Tesi. Inizialmente si applica la teoria in modo tale da massimizzare la regione di attrazione di un punto di equilibrio del sistema (autonomo) considerato: sono presi in considerazione e confrontati due approcci diversi dei Positivstellensatz. Successivamente, si descrivono gli algoritmi mediante i quali si sintetizza il controllore in grado di ampliare la regione di attrazione del punto di equilibrio del sistema esaminato. Anche in questo caso sono applicate e comparate due versioni dei Positivstellensatz. Vengono introdotti dei vincoli sugli stati e sugli ingressi in modo tale da rendere la progettazione del regolatore la più realistica possibile. In_ne si presenta la procedura mediante la quale si sintetizza il controllore tempo variante capace di massimizzare il funnel attorno alla traiettoria nominale che il sistema deve seguire. Il funnel altro non è che l'insieme delle regioni di attrazione ricavate attorno alla traiettoria nominale partendo dalle quali il sistema è in grado di convergere alla traiettoria nominale. Anche in questo caso, vengono presentati algoritmi che sintetizzano il controllore in modo che eventuali vincoli sugli input siano soddisfatti.