Interazione locale isotropa number preserving in automi cellulari quantistici di Dirac a tempo discreto. Local Isotropic Number Preserving Interaction In Discrete Time Dirac Quantum Cellular Automata.

In this thesis, we study a local isotropic number preserving interaction following discrete-time evolution of the Dirac Quantum Cellular Automata (QCA). A QCA consists of a lattice of cells of quantum systems interacting with a finite number of neighbours in such a way that their evolution is unitary. We started using as a background the free evolution of the QCA. In our case the quantum systems are composed of fermions, in particular it has been considered the free evolution of vectors of the generator of the fermions algebra (i.e. Fermionic raising and lowering operators). The hypothesis made in order to describe this free evolution are: linearity, unitarity, locality, homogeneity (in this scenario the latter is intended as invariance under translations on the lattice conceived as a Cayley graph) and discrete isotropy. In the 2-dimensional case, the Fermionic algebra generators are represented as vectors of the form $( a_u, a_d )$, interpreted as spinors, and it is possible to recover the Weyl equation. The Dirac case is obtained by coupling two Weyl automata and the Dirac equation can be recovered from the free evolution of vectors of the form $( a_{u1}, a_{d1}, a_{u2}, a_{d2} )$ intended as bispinors. Given the free evolution, we introduce a local interaction, described by a unitary operator which represents the most general misalignment between the local bases in the local Fermionic algebra at different time steps. This operator needs to be invariant under the same isotropy group of the linear automaton. We also imposed number preservation, which means that the excitation number is conserved. The interaction is described by a unitary operator of the form $\prod_x e^{iH_x}$, where $x$ indicates the cell on which it is acting and the $H_x$ are suitable polynomials of Fermionic operators. In order to provide number preservation, each $H_x$ will have monomials composed of an equal numbers of Fermionic creation and annihilation operators, in particular from 2 to 8 operators (higher order terms vanish because of the Pauli exclusion principle). We studied then the 4-linear terms of the form $f_if_jf_kf_l$, where $f_i$ is a Fermionic operator, which can be either $a$ or $a^\dagger$, and with the obvious constraints of number preservation and isotropy (e.g. $a_{u1}^\dagger a_{u1} a_{d1}^\dagger a_{d1}$). We also studied a way to represent them using bilinear forms of Dirac gamma matrices or products of them. Moreover, we studied a special interaction in the two particle sector, exploiting the composition of $J:=e^{iH_x}$ with the unitary operator $D\otimes D$ describing the linear evolution step of the Dirac automaton for two particles. In particular, we derived the states solving the eigenvalue equation $J(D\otimes D)|\psi\rangle = e^{-i\omega}|\psi\rangle$. The cumbersome characterization of the most general form of the polynomial $H_x$ has been automatized through some calculations using the symbolic mathematics module for Python, sympy. With this tool, we wrote algorithms capable of handling calculations taking into account the algebra of the Fermionic operators.

Ci si propone di studiare delle interazioni locali isotrope che preservino il numero di eccitazioni nell'ambito degli automi cellulari quantistici (QCA) di Dirac evoluti a tempo discreto. Un QCA è un reticolo di celle contenenti sistemi quantistici che interagiscono con un numero finito di primi vicini in modo tale che la loro evoluzione sia unitaria. Come punto di inizio si è considerata l'evoluzione libera del QCA. Nel caso di interesse, i sistemi quantistici presi in esame sono composti da fermioni, in particolare è stata considerata l'evoluzione lineare di vettori di generatori dell'algebra dei fermioni (ossia operatori di creazione e distruzione fermionici). Le ipotesi fatte al fine di descrivere tale evoluzione libera sono: linearità, località, unitarietà, omogeneità (quest'ultima considerata come invarianza per traslazioni sul reticolo visto come un grafo di Cayley) e isotropia discreta. Nel caso di due gradi di libertà interni, i generatori dell'algebra dei fermioni sono rappresentati come vettori della forma $(a_u,a_d)$, interpretati come spinori, ed è possibile derivare da questo formalismo l'equazione di Weyl. Riguardo al Dirac QCA, l'evoluzione si ottiene accoppiando due automi di Weyl e l'equazione di Dirac può essere derivata dall'evoluzione libera di vettori della forma $(a_{u_1},a_{d_1},a_{u_2},a_{d_2})$, interpretabili come bispinori. Data l'evoluzione libera, è stata introdotta un'interazione locale, descritta da un operatore unitario che rappresenta il più generale disallineamento tra le basi locali nell'algebra fermionica a differenti istanti (discreti) di tempo. Tale operatore deve essere posto invariante sotto lo stesso gruppo di isotropia dell'evoluzione lineare. È stata imposta inoltre la conservazione del numero di eccitazioni. L'interazione è descritta da un operatore unitario della forma $\prod_x e^{iH_x}$, dove $x$ indica la cella sulla quale sta agendo e $H_x$ sono polinomi di operatori fermionici nelle ipotesi descritte. Al fine di rispettare la conservazione del numero di eccitazioni, ogni $H_x$ sarà composto di monomi aventi un uguale numero di operatori di creazione e distruzione, in particolare da 2 a 8 operatori (termini di ordine maggiore si annullano a causa del principio di esclusione di Pauli). Si è quindi passati a studiare i termini 4-lineari della forma $f_if_jf_kf_l$, dove $f_i$ è un operatore fermionico che può essere del tipo a o $a^\dagger$, con i citati vincoli di conservazione del numero di eccitazioni e isotropia (per esempio, $a_{u_1}^\dagger a_{u_1}a_{d_1}^\dagger a_{d_1}$). Si è inoltre studiato un modo di rappresentare tali operatori usando forme bilineari di matrici gamma di Dirac o prodotti delle stesse. È stata inoltre studiata un'interazione particolare nel caso di due particelle, sfruttando la composizione di $J:=e^{iH_x}$ con l'operatore unitario $D\otimes D$ che descrive lo step di evoluzione lineare dell'automa di Dirac per due particelle. In particolare sono stati ricavati gli stati che risolvono l'equazione agli autovalori $J(D\otimes D)|\psi\rangle = e^{-i\omega} |\psi\rangle$. Per semplificare i calcoli riguardanti l'algebra dei fermioni, è stato impiegato un modulo Python dedicato alla manipolazione di espressioni matematiche, Sympy. Sfruttando questo strumento, sono stati scritti algoritmi utili a determinare la forma di $H_x$.