Applicazione di algoritmi di machine learning alla stima di entanglement in stati puri bipariti A machine learning approach for entanglement estimation in pure bipartite quantum systems

The problem of entanglement estimation is of great importance for all quantum technologies. For a pure bipartite system, a measure of entanglement is given by the Schmidt number K. This quantity can be computed exactly only if we have the full knowledge of the state’s density matrix, which can be reconstructed through a procedure known as quantum state tomography (QST). Unfortunately, QST can be challenging and time consuming, especially for Hilbert spaces of large dimension. In this situation one may estimate the degree of entanglement through lower bounds, which require to determine only the diagonal elements of the density matrix. However, this strategy is not always satisfactory. In this work we investigate the use of a machine learning approach to spot the correlations between density matrix elements that are responsible for entanglement, and thus build an estimator that requires less measurements than those needed by conventional QST. In the first chapter, we present some of the fundamental elements necessary for understanding our work: bases of quantum mechanics and machine learning, as well as a short introduction to QST in the case of qubits and qudits. In the second chapter we analyze the problem of entanglement recognition in a generic pure bipartite qubit system. To begin with, we further explore the effectiveness of the lower bound approach to the Schmidt number, then moving our attention to the field of machine learning. We consider a multilayer perceptron classifier to build an estimator for the Schmidt number that requires the knowledge of only a few of the observables required for QST. We demonstrate that one can improve the results achieved with the lower bound significantly. In the third chapter we consider the case of continuous variable entanglement in a specific photonic system, i.e. a photon pair generated by spontaneous parametric down conversion (SPDC) in a lithium niobate waveguide. Once again, we restrict our analysis to pure states, and we introduce the concept of joint spectral density (JSD). We show that, by applying a multilayer perceptron regressor model, we can estimate the Schmidt number from low resolution JSDs. This allows one to significantly reduce the number of measurements needed for the Schmidt number estimation. Finally, in the last chapter we summarize our conclusions, and we give an overview of some possible developments of this work, including the extension to multipartite systems or mixed states.

Il problema di stima di entanglement è di grande importanza per tutte le quantum technologies. Per uno stato puro bipartito, una misura di entanglement è data dallo Schmidt number K. Questa quantità può essere calcolata esattamente solo se si possiede una completa conoscenza della matrice densità, che si può ricostruire tramite una procedura detta di Quantum State Tomography (QST). Sfortunatamente, questa procedura può essere piuttosto complessa e richiedere parecchio tempo, specialmente per spazi di Hilbert di grande dimensione. In questa situazione, è possible stimare il grado di entanglement attraverso alcuni limiti inferiori analitici, che utilizzano solo le componenti diagonali della matrice densità. Tuttavia, questa strategia non produce risultati sempre soddisfacenti. In questo lavoro si analizza la possibilità di utilizzare algoritmi di machine learning per individuare le correlazioni tra elementi della matrice densità che sono responsabili dell'entanglement, per poi costruire uno stimatore che richieda meno misure di quelle necessarie per una QST tradizionale. Nel primo capitolo vengono fornite le nozioni fondamentali necessarie per la comprensione di questa testi: basi di meccanica quantistica e machine learning, così come una breve introduzione alla QST nel caso di qubit e qudit. Nel secondo capitolo si analizza il problema del riconoscimento di entanglement in un generico stato puro bipartito di tipo qubit. Innanzitutto viene ulteriormente esplorata l'efficacia di una stima dello Schmidt number tramite il limite inferiore analitico, per poi spostare l'attenzione al machine learning. Si considera quindi un classificatore di tipo multilayer perceptron per costruire uno stimatore per lo Schmidt number che utilizzi solo alcune delle osservabili necessarie per una QST. Viene dimostrato che i risultati ottenuti tramite il limite inferiore possono essere migliorati in modo significativo. Il terzo capitolo considera il caso del entanglement in variabile continua specificandolo ad uno specifico sistema fotonico, ovvero una coppia di fotoni generata per Spontaneous Parametric Down Conversion (SPDC) all'interno di una guida d'onda di niobato di litio. Ancora una volta si restringe l'analisi al caso di stati puri, e viene introdotto il concetto di Joint Spectral Density(JSD). Viene mostrato che, tramite l'applicazione di un modello di regressione di tipo multilayer perceptron, è possibile stimare lo Schmidt number a partire da JSD a bassa risoluzione. Questo consente di ridurre significativamente il numero di misure necessario per questa stima. Infine, nell'ultimo capitolo vengono riassunte le conclusioni di questa tesi e si dà una panoramica dei possibili sviluppi del lavoro, compresa l'estensione a sistemi multipartiti o a stati misti.