Stability of space-time isogeometric methods for wave propagation problems

The goal of this thesis is to investigate the first steps towards an unconditionally stable space-time isogeometric method (IGA method) with maximal regularity, using a tensor-product approach, for the homogeneous Dirichlet problem for the second-order wave equation.The unconditional stability of space-time discretization for wave propagation problems is a topic of significant and recent interest, by virtue of the advantages of space-time methods when compared with more standard space discretization plus time-stepping. These methods gained an increasing interest only recently, due to the improvement in computer technology, which is now capable of handling algorithms with significantly high computational costs. However, it is important to find efficient solvers for such problems: this is another interesting challenge together with the establishment of unconditional stability. In the case of classic Galerkin continuous finite element methods (FEM), several stabilizations have been proposed, most of them relying only on heuristics, without actually proving their effectiveness. Inspired by one of these works, we address the stability problem by studying the IGA method for an ordinary differential equation (ODE) closely related to the wave equation. Eventually, we propose a stabilization, whose good behaviour is supported by numerical tests, and a possible extension to the wave-equation is suggested.

L'obiettivo di questa tesi è studiare i primi passi per la stabilità incondizionata di un metodo isogeometrico (metodo IGA) spazio-temporale, di regolarità massima, con spazi prodotto-tensore, per il problema di Dirichlet omogeneo per l'equazione delle onde del secondo ordine. La stabilità incondizionata della discretizzazione spazio-temporale per problemi di propagazione delle onde è un argomento di significativo e recente interesse, in virtù dei vantaggi dei metodi spazio-temporali se confrontati con una discretizzazione spaziale più time-stepping. Questi metodi hanno guadagnato un interesse crescente solo recentemente, a causa dell'avanzamento tecnologico, che è ora in grado di gestire algoritmi con costi computazionali significativamente alti. Tuttavia, è importante trovare solutori efficienti per tali problemi: questa è un'altra sfida interessante insieme allo stabilire la stabilità incondizionata. Nel caso del classico metodo di Galerkin agli elementi finiti continui (FEM), sono state proposte diverse stabilizzazioni, la maggior parte delle quali si basa solo su euristiche, senza dimostrare effettivamente la loro efficacia. Ispirandoci a uno di questi lavori, affrontiamo il problema della stabilità studiando il metodo IGA per un'equazione differenziale ordinaria (ODE) strettamente legata all'equazione delle onde. Alla fine, proponiamo una stabilizzazione, il cui buon comportamento è supportato da test numerici, e suggeriamo una possibile estensione all'equazione delle onde.