Metodi di Monte Carlo: Valutazione di Opzioni Esotiche

The Monte Carlo method is a class of computational methods based on random sampling to obtain numerical results. Historically, the method was first applied in 1940 during Second World War. Scientists Stanislaw Marcin Ulam, John von Neumann, and Enrico Fermi, members of the Manhattan Project, began using it to solve the neutron transport problem necessary for the creation of the nuclear bomb, which in theory had integrals that were difficult to solve analytically. In the following years the Monte Carlo simulation was applied in different fields, as in statistical physics and engineering to solve problems related to fluid dynamics, and in economics is used, for instance, to estimate the returns of a financial security. Nowadays, the most widely used model for option pricing is based on the Black-Scholes equation, as it is based on simple assumptions that lead to a closed-form solution, consistent with the no-arbitrage theory. However, many models studied and applied in finance do not allow to obtain closed form solutions and therefore require the use of numerical techniques to obtain an acceptable approximate solution. The Monte Carlo method has proved to be one of the most effective tools for the evaluation of option prices, in particular of exotic options, i.e. contracts whose terms and conditions are non-standard. Although the Monte Carlo method is effective, the approximation error is of the order of σ/√n, where σ is the variance of the generated variable and n is the number of simulations, so the error decreases with a speed equal to 1/√n. This implies, that for the method to be effective it is necessary that the number of samples used in the simulations is large at the expense of the computational cost that increases as the number of simulations increases. The objective of this thesis is to construct a model of Monte Carlo that is accurate and at the same time efficient. A way to reach this goal is to reduce the variance σ, there are techniques of variance reduction that introduce a relation, or in the simplest case, a correlation between variables to make the variance smaller. In this thesis, after the introducion of the basic results concerning option pricing and the Monte Carlo method, we focus on exotic options. We will study the valuation of exotic options, in particular we will analyze in detail asian options, lookback options and barrier options, we will see how by applying some of the variance reduction techniques we will be able to reduce the error and improve the efficiency of the Monte Carlo method.

Il metodo Monte Carlo è una classe di metodi computazionali basati sul campionamento casuale per ottenere risultati numerici. Storicamente, il metodo fu applicato per la prima volta nel 1940 durante la Seconda Guerra Mondiale. Gli scienziati Stanislaw Marcin Ulam, John von Neumann e Enrico Fermi, membri del progetto Manhattan, iniziarono a utilizzarlo per risolvere il problema di trasporto neutronico necessario per la creazione dalla bomba nucleare, che nella teoria presentava integrali difficili da risolvere analiticamente. Negli anni successivi la simulazione di Monte Carlo venne applicata in diversi campi, come in fisica statistica e ingegneria per risolvere problemi legati alla fluidodinamica, mentre nell’ambito economico è utilizzato, per esempio, per stimare i rendimenti di un titolo finanziario. Tutt’ora il modello più utilizzato per il calcolo del prezzo di opzioni si basa sull’equazione di Black-Scholes, poiché si basa su semplici ipotesi che portano a una soluzione in forma chiusa coerente con la teoria del non arbitraggio. Tuttavia, molti modelli studiati ed applicati in ambito finanziario non permettono di ricavare soluzioni in forma chiusa e quindi richiedono l’utilizzo di tecniche di tipo numerico per ottenere una soluzione approssimata accettabile. Il metodo Montecarlo si è rilevato uno degli strumenti più efficaci per la valutazione dei prezzi delle opzioni, in particolare delle opzioni esotiche, ovvero contratti i cui termini e condizioni sono non standard. Sebbene il metodo Monte Carlo sia efficace, l’approssimazione è dell’ordine di σ/√n, dove σ è la varianza della variabile generata ed n il numero di simulazioni, quindi l’errore decresce, con una velocità pari a 1/√n. Questo implica, che affinché il metodo sia efficace è necessario che il numero di campioni utilizzati nelle simulazioni sia elevato a discapito del costo computazionale che aumenta all’aumentare del numero delle simulazioni. L’obiettivo di questa tesi è costruire un modello di Monte Carlo che sia accurato e allo stesso tempo efficiente. Un modo per raggiungere questo scopo è quello di ridurre la varianza σ, esistono tecniche di riduzione della varianza che introducono una relazione ,o nel caso più semplice, una correlazione tra variabili per far in modo che la varianza sia più piccola. In questa tesi, dopo l’introduzione dei principali risultati sul calcolo del prezzo delle opzioni e il metodo di Monte Carlo, ci concentreremo sulle opzioni Esotiche. Studieremo la valutazione delle opzioni esotiche, in particolare analizzeremo nel dettaglio le opzioni asiatiche, le opzioni lookback e le opzioni con barriera, vedremo come applicando alcune delle tecniche di riduzione della varianza riusciremo a ridurre l’errore e a migliorare l’efficienza del metodo Monte Carlo.