Un approccio microlocale all'equazione di Schrödinger non-lineare stocastica. A microlocal approach to the stochastic non-linear Schrödinger equation.

In this work we present a generalization of a recent perturbative approach to the study of non-linear stochastic partial differential equations which borrows techniques from algebraic quantum field theory. The validity of this construction is tested via its application to the complex non-linear Schrödinger equation, allowing for an explicit calculation of expectation values and correlation functions of polynomial expressions of the solution. This procedure leads to a priori ill-defined contributions, a typical phenomenon in the theory of non-linear PDEs, as well as in quantum field theory. Renormalization of these problematic structures is tackled from a microlocal viewpoint. Finally, the question regarding renormalizability of the theory described by the stochastic non-linear Schrödinger equation is addressed via techniques proper of graph theory, obtaining an interesting constraint on the dimension of the underlying space.

In questo lavoro presentiamo una generalizzazione di un recente approccio perturbativo allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari di tipo stocastico, il quale utilizza tecniche tipiche della teoria quantistica dei campi algebrica. La validità di questa costruzione viene testata attraverso l'applicazione all'equazione di Schrödinger non lineare stocastica, la quale permette di calcolare i valori di aspettazione e le funzioni di correlazione di espressioni contenenti potenze della soluzione. Questa procedura posta alla comparsa di contributi a priori mal definiti, un fenomeno tipico della teoria delle PDE non lineari, così come della teoria quantistica dei campi. La rinormalizzazione di queste strutture problematiche viene trattata da un punto di vista microlocale. Infine, la domanda riguardante la rinormalizzabilità della teoria descritta dall'equazione di Schrödinger non lineare stocastica viene affrontata tramite tecniche tipiche della teoria dei grafi, portando a un'interessante vincolo sulla dimensione dello spazio soggiacente.