2D Navier-Stokes Stochastic Equations. Equazioni stocastiche di Navier-Stokes in due dimensioni.

Nel presente elaborato forniamo una trattazione il più possibile autoconsistente di un caso particolare dell’equazione di Navier-Stokes stocastica in due dimensioni spaziali. Nel dettaglio, ambientiamo l’equazione in un dominio spaziale ideale: un quadrato in cui si identificano i lati opposti. Tale scelta equivale a imporre condizioni al contorno periodiche le quali, anche se vanno a discapito dell’interpretazione fisica, permettono una modellizzazione astratta semplificata. In particolare, dopo aver introdotto tutti gli strumenti funzionali e probabilistici necessari per affrontare rigorosamente il problema, costruiamo un preciso setting funzionale adatto ad implementare Navier-Stokes come equazione d’evoluzione parabolica astratta; a questa si aggiunge un termine additivo stocastico che assume la forma di un processo di Wiener nello spazio di Hilbert dei campi vettoriali solenoidali a quadrato integrabili. La principale referenza per il risultato di esistenza ed unicità della soluzione è “Kolmogorov Equations for Stochastic PDEs” di Giuseppe Da Prato (2004), di cui chiariamo numerevoli dimostrazioni soltanto accennate nella monografia, e di cui raffiniamo alcuni risultati di regolarità funzionale della soluzione. Infine si accenna al problema dell’esistenza della misura invariante per il semigruppo di transizione associato al processo stocastico soluzione dell’equazione: tale argomento si presta ad ulteriori sviluppi futuri.