Scelta ottimale di portafoglio in un mercato con ritorni precibili e in uno con costi di transazione. Portfolio allocation with predictable returns and transaction costs.

The aim of this Thesis work is to determine the optimal portfolio choice for an agent who trades in a market with one safe and one risky asset, having a long-term investment policy. The Thesis starts from the original Merton model, developing its implementations. In particular, I derive explicit formulas for the optimal policy and Equivalent Safe Rate, exploring different financial markets: the classic Black&Scholes model, a market with predictable returns and also a market where the consumers take into account small proportional transaction costs. Some numerical results are given, using a policy improvement algorithm.The core of the work is the technique of Dynamic Programming Principle and Martingala Optimality Principle and their infinitesimal version: the Hamilton-Jacobi-Bellman equation. Subsequently every solution- derived heuristically by Hamilton-Jacobi-Bellman equation- is rigorously verified. In the case of a market with transaction costs we explore the strategy of the shadow price, reducing the original problem to a frictionless market with a fictitious price for the risky asset. All outcomes are robust to consumption.

L’obiettivo che il seguente lavoro di Tesi Magistrale si prefigge è quello di determinare la scelta ottimale di un portafoglio per un investitore che agisce in un mercato in cui sono presenti un asset rischioso e uno privo di rischio. Il lavoro si sviluppa a partire dal modello di Merton, esaminando poi alcune sue possibili implementazioni. Nello specifico, si derivano espressioni esplicite per la strategia di mercato ottimale e per un parametro di mercato chiamato Equivalent Safe Rate ovvero tasso equivalente di interesse privo di rischio. Dapprima si lavora nel quadro classico del mercato di Black&Scholes, successivamente si assume un modello con ritorni predicibili e infine un mercato che include (piccoli) costi di transazionedi tipo proporzionale. Sono anche forniti alcuni spunti numerici, sviluppando i cosiddetti algoritmi di policy improvement. Il nucleo centrale del lavoro è dato dall’applicazione di due principi: quello di programmazione dinamica e quello della Martingala ottimalità, nonché della loro espressione infinitesima, ovvero dell’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB).Successivamente, ogni soluzione di prova derivata per mezzo dell’equazione di HJB è verificata rigorosamente. Nel caso del mercato con costi di transazione, si è utilizzata la strategia verificativa del shadow price, ovvero un prezzo fittizio per l’asset rischioso in un ipotetico mercato privo di costi di transazione ma con ritorni predicibili e volatilità stocastica. Tutti i risultati ivi ottenuti sono compatibili anche con l’introduzione di un fattore di consumo della ricchezza nella politica di investimenti di un agente di mercato.