Mathematical Analysis and Simulation Study of a Diffusion-Reaction Model of Tumor Growth

In this Thesis we study a basic model for tumor growth in the 1D and 2D cases. The model describes solid tumor growth as a combination of cancerous cell mobility and proliferation. These mechanisms are represented with a diffusion operator and a linear term, respectively. We consider that the mobility and proliferation rates are constant in space and time. The resulting initial boundary value problem is a diffusion-reaction partial differential equation coupled with Neumann homogeneous boundary conditions and suitable initial conditions. In the first part of the Thesis we prove the existence and uniqueness of solutions. Then, we compute explicitly the solution by means of a separation of variable method. In the second part we leverage the Finite Element Method to approximate the solution of the 1D and 2D problems. In particular, we discretize in space with a classic Bubnov-Galerkin method using a varying number of elements and considering either linear or quadratic Lagrangian basis functions. Additionally, we integrate in time using the Backward Euler method and we study different time step sizes. Finally, we compare the exact analytical solution to the finite-element approximate solutions obtained under the alternative numerical schemes considered herein through the numerical evaluation of the L^(2) approximation error.

Analisi matematica e studio di simulazione di un modello di diffusione-reazione per crescita tumorale. In questa Tesi studiamo un modello base per la crescita tumorale nei casi 1D e 2D. Il modello descrive lo sviluppo tumorale in termini di mobilità e proliferazione delle cellule cancerose. Questi meccanismi sono rappresentati rispettivamente da un operatore di diffusione e un da un termine lineare. Consideriamo inoltre i tassi di mobilità e proliferazione costanti nello spazio e nel tempo. Il problema risultante è un'equazione differenziale di diffusione-reazione alle derivate parziali, accoppiata con adeguate condizioni al contorno omogenee di Neumann e condizioni iniziali. Nella prima parte della Tesi dimostriamo l'esistenza e l'unicità delle soluzioni. Successivamente calcoliamo esplicitamente la soluzione mediante il metodo di separazione delle variabili. Nella seconda parte utilizziamo il metodo degli elementi finiti per approssimare la soluzione dei problemi 1D e 2D. In particolare, discretizziamo nello spazio con un metodo classico di Bubnov-Galerkin, utilizzando un numero variabile di elementi e considerando funzioni base Lagrangiane, lineari o quadratiche. Inoltre, integriamo nel tempo, utilizzando il metodo di Eulero inverso e studiamo diverse lunghezze di intervalli temporali. Infine, confrontiamo la soluzione analitica esatta con le soluzioni approssimate agli elementi finiti, ottenute secondo gli schemi numerici alternativi qui considerati, attraverso la valutazione numerica dell'errore di approssimazione L ^ (2).