Riduzione Spettrale Dimensionale di Processi Dinamici su Reti Complesse. Spectral Dimension Reduction of Dynamical Processes in Complex Networks

Spectral reduction methods are mathematical tools recently introduced in the field of Network Science, to facilitate the study of dynamical processes on complex networks. As in epidemiology, usually it is not relevant to know the state of the individual nodes, rather is more useful to consider global observables, that well represents the microscopic dynamics. This avoids running the complete simulation of the process, which can be very time-consuming for realistic networks. Moreover, it allows to identify few parameters of the network through which the global dynamics of the system can be controlled and forecast. In the first two chapters of this work, we introduce the principal analysis tools of Network Science and the state-of-the-art of spectral reduction methods. We reproduce the known results of reduction methods to random and modular networks. We then apply the known methods to scale-free networks, a class of graphs suitable for modeling a variety of natural and social systems, looking for structural features that influence the accuracy of the reduction. Numerical simulations will be carried out on two test dynamics: the epidemiological model SIS, and the Cowan Wilson dynamics, introduced in computational neuroscience to describe the activity of a set of interconnected neurons. In the last part of this work, we will propose an application of the monodimensional spectral reduction to the DebtRank dynamics, a model for the propagation of financial shocks in interbank networks. In particular we show under which condition the spectral reduction can capture the level of systemic risk, opening up to possible applications in the context of financial supervision.

I metodi di riduzione spettrale sono strumenti matematici recentemente introdotti nell’ambito della Network Science per facilitare lo studio di processi dinamici su reti. Come in epidemiologia, spesso non è rilevante tracciare lo stato dei singoli nodi, ma è più utile considerare delle osservabili globali, ben rappresentative della dinamica microscopica. Questo evita la simulazione completa del processo, che può richiedere molto tempo per reti di dimensioni realistiche, e consente di identificare pochi parametri della rete attraverso cui si può controllare la dinamica collettiva del sistema. Nei primi due capitoli del lavoro presenteremo i principali strumenti di analisi della Network Science e lo stato dell’arte sui metodi di riduzione spettrale. Riprodurremo i risultati già noti in letteratura riguardo all’applicazione di questi metodi a reti random e composte da comunità. Proseguiremo con l’applicazione dei metodi noti alle reti scale-free, classe di grafi adatta a modellizzare molti sistemi naturali e sociali, studiandone le caratteristiche strutturali che influenzano l’accuratezza della riduzione. Le simulazioni numeriche verranno effettuate su due dinamiche di test: il modello epidemiologico SIS e la dinamica di Cowan-Wilson, introdotta in neuroscienze computazionali per la descrizione dell’attività di una rete di neuroni. Nell’ultima parte del lavoro proponiamo invece un nuovo tentativo di applicazione della riduzione monodimensionale alla dinamica del DebtRank, un modello per la propagazione di shock finanziari all’interno di reti interbancarie. In particolare mostriamo sotto quali condizioni la riduzione spettrale è in grado di catturare il livello di rischio sistemico aprendo a possibili applicazioni nell’ambito della vigilanza finanziaria.