Teoria e applicazioni delle matrici random

Random Matrix Theory (RMT) is the branch of theoretical physics devoted to the study of the statistical properties of matrices with random entries. Typically, they arise in the study and modeling of complex systems where the relevant quantities are random variables. The aim of this work is to provide a thorough introduction to the theory and applications of random matrices. In the first part of the thesis, the basic results of the theory are reviewed, focusing on the spectral properties and the analytical form of the limit eigenvalue distributions of the Gaussian and Wishart-Laguerre ensembles. Then, the main applications of RMT in physics are discussed, with particular emphasis to many body systems in nuclear and atomic physics, as well as to chaotic dynamics. Outside physics, finance represents a recent field of application of RMT because of the richness of data at hand and possible tests that can be performed on traditional economic models. The application of RMT to financial data is shown in the final part of the work, which presents an original investigation of a dataset of time series of different stocks from the financial market index Standard and Poor’s 500. In this context, the results of the empirical analysis are compared with the theoretical predictions of RMT, in order to point out differences between the dataset and an ideal completely noisy system. Possible other directions of research, mainly in the field of econophysics, are drawn in the conclusions

La teoria delle matrici random è la branca della fisica teorica dedicata allo studio delle proprietà statistiche delle matrici con entrate random. Tipicamente, queste emergono nello studio e modellizzazione dei sistemi complessi per i quali le quantità rilevanti sono variabili random. Lo scopo di questo lavoro di tesi è fornire un’introduzione approfondita alla teoria e applicazioni delle matrici random. Nella prima parte della tesi vengono passati in rassegna i risultati di base della teoria, concentrandosi sulle proprietà spettrali e le espressioni analitiche delle distribuzioni limite degli autovalori degli ensemble Gaussiani e di Wishart-Laguerre. Sono successivamente discusse le applicazioni principali della teoria delle matrici random in fisica, con particolare enfasi sui sistemi a molti corpi in fisica nucleare ed atomica, così come sulla dinamica caotica. Al di là della fisica, la finanza rappresenta un campo recente di applicazione della teoria per via della ricchezza di dati a disposizione e di possibili test su modelli economici tradizionali. L’applicazione della teoria delle matrici random su dati finanziari è mostrata nella parte finale del lavoro, che presenta uno studio originale di un dataset di serie temporali di differenti azioni appartenenti all’indice finanziario di mercato Standard and Poor’s 500. In questo contesto, i risultati dell’analisi empirica sono confrontati con le predizioni derivanti dalla teoria, in modo da far emergere differenze tra il dataset e un sistema ideale completamente random. Altre direzioni possibili di ricerca, principalmente nel campo dell’econofisica, sono schematizzate nelle conclusioni.