Giochi a Campo Medio con Applicazione Economica

The theory of Mean Field Games has been introduced in 2006 by J.-M. Lasry and P.-L. Lions and independently by Huang-Caines-Malhamé to describe strategic interactions within a very large population of indistinguishable individuals. In the limit when the number of individuals goes to infinity, the equilibrium proposed by Lasry and Lions turns out to be a solution of a forward-backward system of PDEs: a Hamilton-Jacobi equation for the value function and a Fokker-Planck equation for the density of the players. The aim of this thesis is to give an introduction to the Mean Field Games theory, with particular attention to the quadratic case. First of all, we formally derive the Hamilton-Jacobi equation from the theory of stochastic optimal control and we introduce the class of Fokker-Planck equations. Then we combine the two equations in the system of Mean Field Games presenting an existence and uniqueness theorem. Finally, we show the power and adaptability of this theory via an economic application.

La teoria dei Giochi a Campo Medio è stata introdotta nel 2006 da J.-M. Lasry e P.-L. Lions e indipendentemente da Huang-Caines-Malhamé per descrivere interazioni strategiche in una popolazione molto ampia di individui indistinguibili. Quando il numero di individui tende a infinito, l’equilibrio proposto da Lasry e Lions risulta essere una soluzione di un sistema di EDP: un’equazione retrograda di Hamilton-Jacobi per la funzione valore e un’equazione di Fokker-Planck per la densità dei giocatori. L’obiettivo di questa tesi è dare un’introduzione della teoria dei Giochi a Campo Medio, con particolare attenzione al caso quadratico. Innanzitutto, deriviamo formalmente l’equazione di Hamilton-Jacobi dalla teoria del controllo ottimo stocastico e introduciamo la classe delle equazioni di Fokker-Planck. In seguito combiniamo le due equazioni nel sistema dei Giochi a Campo Medio presentando un teorema di esistenza e unicità. Infine, mostriamo la potenza e l’adattabilità di questa teoria attraverso un’applicazione economica.