Ottimalità nella approssimazione di rango basso e nelle n-widths di Kolmogorov

It is well known that the truncated singular value decomposition provides an optimal rank-n approximation to a given matrix in the spectral norm. However, it is not unique and in a recent paper, a large class of alternatives are identified. This is done by relating best rank-n approximations to the theory of n-widths and their optimal spaces. In my thesis, I expand upon this result in several directions. Firstly, I obtain an explicit condition for optimality in the case of the 2-width. Secondly, by applying a similar condition related to the 1-width case, I am able to classify optimal symmetric rank-1 approximations. Finally, I consider a sequence of optimal spaces for the n-width, which under the assumption of a certain spectral gap, has been shown to converge to the first n singular vectors. I generalize this result to the case of no spectral gap, which is the first step towards proving a conjecture in the field of isogeometric analysis regarding a compact operator in L^2.

È ben noto che la decomposizione ai valori singolari troncata fornisca un'approssimazione ottimale di rango-n di una data matrice rispetto alla norma spettrale. Tuttavia, tale approssimazione non è l’unica e in un recente paper un’ampia classe di alternative viene identificata. Queste alternative sono ottenute mettendo in relazione le migliori approssimazioni di rango n con la teoria delle n-widths e dei loro spazi ottimali. Nella mia tesi, approfondisco ed estendo questo risultato in diverse direzioni. In primo luogo, ho ottenuto una condizione esplicita per l'ottimalità nel caso della 2-width. In secondo luogo, applicando una condizione analoga a quest’ultima, ma relativa al caso della 1-width, sono stata in grado di classificare approssimazioni simmetriche ottimali di rango-1. Infine, ho considerato una sequenza di spazi ottimali per la n-width, che, in presenza di un certo gap tra i valori singolari, è stata dimostrata convergere ai primi n vettori singolari e ho generalizzato questo risultato al caso dell'assenza di tale gap. Questa generalizzazione rappresenta il primo passo verso la dimostrazione di una congettura nel campo dell'analisi isogeometrica riguardante un certo operatore compatto in L^2.