Varietà Jacobiane e Teorema di Torelli

In this master thesis we intend to study some properties of compact Riemann Surfaces, more particularly the relationship between a compact Riemann Surface and its Jacobian Variety. In the first part, the Abel-Jacobi embedding is studied and the main results that distinguish it are demonstrated, including the famous Theorems of Abel and Jacobi. In the second part the Riemann theta function is studied and the fundamental Riemann Parametrization Theorem is proven. The thesis ends with the proof of Torelli’s Theorem given by Andreotti which guarantees that from the Jacobian it is possible to reconstruct the holomorphic structure of a compact Riemann Surface.

In questa tesi magistrale ci si propone di studiare alcune proprietà delle Superfici di Riemann compatte, più in particolare la relazione tra una Superficie di Riemann compatta e la sua Varietà Jacobiana. Nella prima parte viene studiato l’embedding di Abel-Jacobi e dimostrati i risultati principali che lo contraddistinguono, tra cui i celebri Teoremi di Abel e di Jacobi. Nella seconda parte viene studiata la funzione theta di Riemann e dimostrato il fondamentale Teorema di Parametrizzazione di Riemann. La tesi si conclude con la dimostrazione del Teorema di Torelli data da Andreotti, che garantisce che dalla Jacobiana è possibile ricostruire la stuttura olomorfa di una Superficie di Riemann compatta.