Minimi espliciti per una classe di energie di dislocazione non locali e anisotrope

In the thesis we consider a class of nonlocal energies arising in Dislocation Theory and characterized by the presence of an anisotropic kernel that describes the interaction among dislocations of edge-type. Before studying the dislocation case, in Chapter 1 we review the classical problem of 2-dimensional Coulomb interactions, which provides us with a significant guideline. In particular, we prove the uniqueness of the equilibrium measure applying a general result, based on rewriting the interaction energy in the Fourier space. In Chapter 2 we focus on the interaction of dislocations in an isotropic medium. We present a result, proved by Mora, Rondi and Scardia (2019), which shows that the energy has a unique equilibrium measure given by the so-called semicircle law. In Chapter 3 we extend this result to the case of dislocations interacting in an anisotropic medium. In this case the interaction kernel depends on two parameters related to some elastic constants of the material. The kernel can be expressed as the sum of the Coulomb kernel and an even, 0-homogeneous function, which is smooth outside the origin. Using an inversion formula in terms of the Fourier transform, proved by Carrillo and Shu (2022), we explicitly find the equilibrium measure, which is given by an ellipse law or a semicircle law according to the different values of the parameters. In Chapter 4 we present some numerical simulations for the approximation of equilibrium configurations, both to test the method in the studied case of a quadratic confinement and to investigate the behaviour of minimizers for more general confinement potentials.

Nella seguente tesi consideriamo una classe di energie non locali risultante dalla Teoria delle Dislocazioni e caratterizzata dalla presenza di un nucleo anisotropo, il quale descrive l’interazione tra dislocazioni di tipo edge. Nel primo capitolo viene rivisto un problema classico riguardante interazioni coulombiane in due dimensioni e che fornisce una guida significativa per il caso delle dislocazioni. In particolare, si ottiene l’unicità della misura di equilibrio tramite un risultato più generale, basato sul riscrivere l’energia di interazione in spazi di Fourier. Nel secondo capitolo prendiamo in esame l’interazione di dislocazioni in mezzi isotropi. Viene mostrato, tramite il lavoro di Mora, Rondi e Scardia (2019), che l’energia ammette un’unica misura di equilibrio data dalla cosiddetta semicircle law. Nel terzo capitolo estendiamo il risultato precedente al caso di dislocazioni in mezzi anisotropi. Consideriamo un nucleo di interazione dipendente da due parametri legati a delle costanti elastiche del materiale. Il nucleo viene espresso come la somma di un nucleo coulombiano e una funzione pari, 0-omogenea e regolare all’infuori dell’origine. Tramite poi una formula di inversione, dimostrata da Carrillo e Shu (2022), determiniamo esplicitamente la misura di equilibrio, che è data dalla funzione caratteristica di un'ellisse normalizzata o dalla semiricle law, a seconda di valori differenti dei parametri. Nell’ultimo capitolo sono presentate delle simulazioni numeriche per l’approssimazione di configurazioni di equilibrio, sia per testare il metodo nel caso studiato del Capitolo 3 con la scelta di un confinamento quadratico, sia per esaminare il comportamento dei minimi per confinamenti più generali.