Generatori perfetti per categorie derivate di schemi

In this work we will study some derived categories which can be constructed from sheaves of modules over a scheme. Denote the derived category of sheaves of modules over a scheme X by D(X). We will prove that, if X is quasi-compact quasi-separated, the full subcategory of D(X) consisting of objects with quasi-coherent cohomology has a perfect (thus compact) generator. This is a result by Bondal and Van den Bergh (2003). Also, we will give a proof that the category described above is equivalent to the derived category of quasi-coherent modules in the case of a quasi-compact semi-separated scheme. This is a result by Bökstedt and Neeman (1993). We will illustrate an example due to Verdier which shows that the last theorem does not extend to quasi-compact quasi-separated schemes.

In questo lavoro studieremo alcune categorie derivate che possono essere costruite a partire dai fasci di moduli su uno schema. Denotiamo la categoria derivata dei fasci di moduli su uno schema X con D(X). Dimostreremo che, se X è quasi-compatto e quasi-separato, la sottocategoria piena di D(X) costituita dagli oggetti con coomologia quasi-coerente ha un generatore perfetto (e quindi compatto). Questo è un risultato di Bondal e Van den Bergh (2003). Inoltre, mostreremo che la categoria descritta sopra è equivalente alla categoria derivata dei moduli quasi-coerenti nel caso di uno schema quasi-compatto e semi-separato. Questo è un risultato di Bökstedt e Neeman (1993). Illustreremo un esempio dovuto a Verdier che mostra come l'ultimo teorema non si estende agli schemi quasi-compatti quasi-separati.