Metriche su categorie triangolate e applicazione a categorie derivate di schemi

Starting from an abelian category $\mathcal{A}$, the derived category $\mathbf{D}(\mathcal{A})$ is obtained by formally inverting quasi-isomorphisms. This is one of the main motivating examples for the concept of triangulated category. From the concept of t-structure on a triangulated category $\mathcal{T}$ we extract three full subcategories: $\mathcal{T}^c$, $\mathcal{T}^{-}_c$ and $\mathcal{T}^b_c$. Following Neeman's article "The categories \mathcal{T}^c and \mathcal{T}_b^c determine each other" we introduce a metric on a triangulated category $\mathcal{S}$ and the concept of Cauchy sequence with respect to that metric; by completing $\mathcal{S}$ in a suitable sense and taking only the objects which are in a sense compact, we construct a new triangulated category $\mathfrak{S}(\mathcal{S})$. In some particular cases, the category $\mathfrak{S}(\mathcal{S})$ can be realized as a subcategory of a bigger category $\mathcal{T} \supseteq \mathcal{S}$: in this case, we say that the extension $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{T}$ is good. Assuming approximability, taking a particular kind of t-structure and choosing two particular metrics on a triangulated category $\mathcal{T}$, we will show that the subcategories $\mathcal{T}^b_c$ and $[\mathcal{T}^c]^{op}$ can be realized, respectively, as $\mathfrak{S}(\mathcal{T}^c)$ and $\mathfrak{S}([\mathcal{T}^b_c]^{op})$. Finally we apply the general theory to the triangulated approximable category $\mathbf{D}_{qc}(X)$; in this case, $\mathbf{D}_{qc}(X)^c = \mathbf{D}^{perf}(X)$ and $\mathbf{D}_{qc}(X)^b_c = \mathbf{D}_{qc}(X)^-_{coh}$: thus, we have a method which constructs $\mathbf{D}^{perf}(X)$ out of $\mathbf{D}_{qc}(X)^-_{coh}$ and vice-versa.

A partire da una categoria abeliana $\mathcal{A}$, si può costruire la categoria derivata $\mathbf{D}(\mathcal{A})$, ottenuta dalla categoria dei complessi con oggetti in $\mathcal{A}$ invertendo formalmente i quasi-isomorfismi. Questa categoria, nella quale ci si concentra sulla successione di omologia dei complessi, non è, in generale, abeliana: astraendo le sue proprietà principali (cioè l'esistenza della successione esatta lunga di omologia per ogni successione esatta corta e la possibilità di spostare i complessi a destra o a sinistra) si giunge al concetto di categoria triangolata. Questo processo garantisce un modo per costruire una categoria triangolata a partire da una categoria abeliana; viceversa, la nozione di t-struttura permette di estrarre una categoria abeliana da una categoria triangolata qualsiasi $\mathcal{T}$, e permette di dotare $\mathcal{T}$ di proprietà tipiche delle categorie derivate (che hanno una t-struttura naturale). In particolare, è possibile definire due sottocategorie di particolare interesse: $\mathcal{T}^c$ e $\mathcal{T}^b_c$. Seguendo l'articolo di Neeman "The categories \mathcal{T}^c and \mathcal{T}_b^c determine each other" , si introduce un concetto ulteriore: la nozione di struttura metrica su una categoria triangolata $\mathcal{S}$. Questa nozione rende possibile definire le successioni di Cauchy e, attraverso l'embedding di Yoneda nella categoria cocompleta $\Mod-\mathcal{S}$, completare la categoria aggiungendo i colimiti delle successioni di Cauchy: questo completamento è indicato con $\mathfrak{L}(\mathcal{S})$. Prendendo, all'interno di questa categoria, soltanto i funtori che mandano successioni di Cauchy in successioni definitivamente costanti - tali funtori formano una sottocategoria piena di $\Mod-\mathcal{S}$ che indicheremo con $\mathfrak{C}(\mathcal{S})$ - si arriva alla categoria $\mathfrak{L}(\mathcal{S}) \cap \mathfrak{C}(\mathcal{S}) = \mathfrak{S}(\mathcal{S})$. Il risultato principale contenuto in \cite{tc} è che questa categoria ammette una struttura di categoria triangolata che estende quella di $\mathcal{S}$. Ci focalizziamo poi su un caso particolare: se $\mathcal{S}$ è una sottocategoria triangolata di una categoria triangolata $\mathcal{T}$ e i colimiti di successioni di Cauchy possono essere visti come colimiti omotopici in $\mathcal{T}$, la categoria $\mathfrak{S}(\mathcal{S})$ può essere realizzata come sottocategoria triangolata di $\mathcal{T}$. Diciamo, in questo caso, che l'inclusione $\mathcal{S} \to \mathcal{T}$ è una buona estensione. Con opportune ipotesi di approssimabilità e la scelta di metriche appropriate, mostreremo che, attraverso le buone estensioni $\mathcal{T}^c \subseteq \mathcal{T}$ e $[\mathcal{T}^b_c]^{op} \subseteq \mathcal{T}^{op}$, $\mathfrak{S}(\mathcal{T}^c) \cong \mathcal{T}^b_c$ e $\mathfrak{S}([\mathcal{T}^b_c]^{op}) \cong [\mathcal{T}^c]^{op}$: quindi la conoscenza di una categoria determina la conoscenza dell'altra. Infine si propone un esempio di applicazione di questa teoria: la categoria $\mathbf{D}_{qc}(X)$ è approssimabile; inoltre $\mathbf{D}_{qc}(X)^c = \mathbf{D}^{perf}(X)$ e $\mathbf{D}_{qc}(X)^b_c = \mathbf{D}_{qc}(X)^-_{coh}$. Applicando a questo caso la teoria sviluppata, concludiamo che le categorie $\mathbf{D}^{perf}(X)$ e $\mathbf{D}_{qc}(X)^-_{coh}$ si determinano l'una con l'altra.