Varietà abeliane, Jacobiane e Teorema di Torelli

This thesis aims to present the study of the Jacobian associated to a compact Riemann surface. This object arises naturally in the study of the holomorphic 1-forms, and it carries a lot of information about the curve itself. Firstly, we present the definition of the Jacobian, and we prove Abel's Theorem and the Jacobi inversion Theorem. Then we go through the theory of abelian varieties; we focus on the description of the line bundles and their Chern class, and applying the construction of the theta-functions, we give an explicit embedding in the projective space for this kind of manifolds. Then we study in depth the properties of the Jacobian and the local shape of its theta divisor. We prove the Riemann singularity Theorem, and we pave the way for the proof of Torelli's theorem, which is the result that enlights the correspondence between a curve and its Jacobian. The thesis is structured in five chapters. The first chapter is dedicated to the presentation of the preliminary results for a better comprehension of the work; we focus on the correspondence of line bundles and divisors, and we present Kodaira embedding Theorem. In the second chapter, we prove Abel's Theorem and the Jacobi inversion Theorem. In the third one we deal with the theory of abelian varieties; we prove Riemann conditions, we study the line bundles of an abelian variety, and we define the theta divisor. The fourth chapter is dedicated to a deep study of the theta divisor; we give an explicit solution to the Jacobi inversion problem computing the intersection number of the theta divisor with the image of the Abel-Jacobi map, and with that, we develop the local theory of the theta divisor proving the Riemann singularity Theorem. Moreover, here we prove Torelli's Theorem. In the last chapter we present the elliptic curves, which represent the abelian varieties of dimension one, and we study the structure of their moduli space.

Questa tesi si propone di presentare lo studio della Jacobiana associata ad una superficie di Riemann compatta. Questo oggetto geometrico nasce naturalmente dallo studio delle forme-1 olomorfe, e contiene molte informazioni sulla curva stessa. In primo luogo, presentiamo la definizione di Jacobiana, e dimostriamo il Teorema di Abel e il Teorema di inversione di Jacobi. Trattiamo la teoria delle varietà abeliane; ci concentriamo sulla descrizione dei fibrati in rette e della loro classe di Chern, e, applicando la costruzione delle funzioni theta, diamo un esplicito embedding nello spazio proiettivo per questo tipo di varietà. Successivamente studiamo in modo più approfondito le proprietà della Jacobiana e la teoria locale del suo divisore theta. Dimostriamo il teorema delle singolarità di Riemann, e apriamo la strada alla dimostrazione del teorema di Torelli: il risultato che evidenzia la corrispondenza tra una curva e il suo Jacobiano. La tesi è strutturata in cinque capitoli. Il primo capitolo è dedicato alla presentazione dei risultati preliminari per una migliore comprensione del lavoro; ci concentriamo sulla corrispondenza tra fibrati in rette e divisori, e presentiamo il Teorema dell' embedding di Kodaira. Nel secondo capitolo dimostriamo il Teorema di Abel e il Teorema di inversione di Jacobi. Nel terzo trattiamo la teoria delle varietà abeliane; dimostriamo le condizioni di Riemann, studiamo i fibrati in rette di una varietà abeliana e definiamo il divisore theta. Il quarto capitolo è dedicato ad uno studio approfondito del divisore theta; diamo una soluzione esplicita al problema di inversione di Jacobi calcolando il numero di intersezione del divisore theta con l'immagine della mappa di Abel-Jacobi, e con ciò sviluppiamo la teoria locale del divisore theta dimostrando il Teorema di singolarità di Riemann. Inoltre, qui dimostriamo il Teorema di Torelli. Nell'ultimo capitolo presentiamo le curve ellittiche, che rappresentano le varietà abeliane di dimensione uno, e studiamo la struttura del loro spazio dei moduli.