L'effetto anti-Hawking su un buco nero BTZ analogo - The Anti-Hawking Effect on an Analogue BTZ Black Hole

The BTZ black hole is a (2+1)-dimensional solution to Einstein field equations. On such a spacetime, it is known that the transition rate of a two-level system coupled to the ground state of a quantum scalar field exhibits a counter-intuitive behaviour, dubbed \textit{anti-Hawking effect}. In this thesis, we shall examine the counterpart of the latter on an analogue model based on a Bose-Einstein condensate. After having established this formal analogy by means of a suitable change of coordinates, we shall write the radial equation of motion for a free, real scalar field on the analogue BTZ spacetime in the form of an eigenvalue problem. To formulate the classical dynamics of such a field as a well-posed initial value problem, the causal structure of the BTZ black hole requires the assignment of suitable boundary conditions. Adopting the algebraic quantization scheme, the latter allow to unambiguously impose the canonical commutation relations. Within this framework, the ground state of a real scalar field on an analogue BTZ black hole is completely determined by a specific bisolution to the equation of motion, dubbed \textit{two-point function}. Since we are working on a static spacetime, it is possible to explicitly derive it by constructing a resolution of the identity written in terms of the eigenfunctions of the radial equation of motion. As the acoustic gravitational analogy holds true only for massless, minimally coupled scalar fields, it is necessary to specify our result to this particular case. Eventually, the transition rate of a two-level system interacting with the ground state of such a field can be computed by means of the above-mentioned two-point function. To numerically estimate the former, we shall rewrite its analytical expression using the laboratory inertial coordinates and then we shall set the physical parameters of the system. Noticeably, choosing liquid Helium-4 as Bose-Einstein condensate, the quantitative predictions obtained for both the dimensions of the analogue model and the magnitude of the transition rate are compatible with our current experimental possibilities. Hence, in principle, a laboratory test of the analogue anti-Hawking effect is possible.

Il buco nero BTZ è una soluzione (2+1)-dimensionale delle equazioni di campo di Einstein. Su di esso, è noto che la frequenza di transizione di un sistema a due livelli accoppiato con lo stato fondamentale di un campo scalare quantistico esibisce un comportamento controintuitivo, chiamato \textit{effetto anti-Hawking}. In questa tesi, esamineremo la controparte di quest'ulti\-mo in un modello analogo basato su un condensato di Bose-Einstein. Dopo aver stabilito tale analogia formale attraverso un opportuno cambio di coordinate, scriveremo l'equazione del moto radiale per un campo scalare reale e libero, definito sullo spaziotempo BTZ analogo, nella forma di un problema agli autovalori. Per formulare la dinamica classica di un tale campo come un problema ai valori iniziali ben posto, la struttura causale del buco nero BTZ richiede l'assegnazione di opportune condizioni al contorno. Adottando uno schema di quantizzazione algebrico, queste ultime permettono di imporre univocamente le relazioni di commutazione canoniche. In questo contesto, lo stato fondamentale di un campo scalare reale su un buco nero BTZ analogo è completamente determinato da una particolare bisoluzione dell'equazione del moto, detta \textit{funzione a due punti}. Poiché lavoriamo su uno spaziotempo statico, essa può essere esplicitamente ricavata costruendo una risoluzione dell'identità in termini di autofunzioni dell'equazione del moto radiale. Dato che l'analogia gravitazionale acustica è definita solo per campi scalari privi di massa e minimalmente accoppiati, è necessario specificare il nostro risultato per questo caso particolare. Infine, la frequenza di transizione di un sistema a due livelli che interagisce con lo stato fondamentale di un tale campo può essere calcolata per mezzo della funzione a due punti citata in precedenza. Per stimare numericamente la prima, riscriveremo la sua espressione analitica usando le coordinate inerziali del laboratorio e quindi fisseremo i parametri fisici del sistema. Scegliendo l'elio-4 liquido come condensato di Bose-Einstein, è interessante notare come le previsioni quantitative ottenute riguardo sia alle dimensioni del modello analogo, sia all'ordine di grandezza della frequenza di transizione, risultino compatibili con le attuali possibilità sperimentali. Per cui, in linea di principio, l'effetto anti-Hawking analogo può essere sondato in laboratorio.