Teoria input-output per reti quantistiche ottiche dissipative: lo schema SLH Input-output theory of dissipative quantum optical networks: the SLH framework

Within the context of the quantum technologies, a fundamental goal is to to effectively simulate the behavior of localized open quantum systems interacting with propagating or extended quantum states of electromagnetic radiation, such as single-photon Fock states. In perspective, it would be desirable to also model a quantum optical network configuration in which localized nodes are connected between each other through propagating channels. Moreover, to model realistic quantum photonic devices is also crucial to suitably take into account losses, i.e. considering the non-unitary dynamics in an open quantum system scenario. Such a complex problem can be formulated in terms of the input-output theory of cascaded quantum systems, including losses. In this respect, a useful framework has been developed: the SLH approach to input-output quantum networks. In this thesis we illustrate the foundations and applications of the SLH framework, with the aim of setting up the basis to describe multiple interacting open quantum systems in a network configuration. The SLH theoretical framework is based on the quantum state evolution of an open system described through a master equations approach, in which dissipation is taken into account through coupling to a bath, and system-bath interaction is stochastic. Starting from the physical assumptions of the model, the analysis takes advantage of the quantum stochastic calculus in order to derive the quantum stochastic differential equations that govern the dynamics of the system operators. These are then exploited to derive the relevant equations of motion of the system state, which depend on three operators: the scattering matrix S, the coupling operator L, and the system Hamiltonian H. In the first part of the thesis, we describe the derivation of the SLH framework, which extends the formal results of this treatment to the description of multiple cascaded quantum systems in a modular way. Such a description is developed as an input-output network theory, for which the first element of the network is initialized with a well defined state of the electromagnetic field (be it a classical, coherent state, or a purely quantum radiation state). The network response then consists of an output field determined from the cascaded connection between the concatenated elements of the network. In order to define the network arrangement, each localized system of the network is assigned a proper triple of operators S, L and H, and the different triples are then combined through simple algebraic rules. The result is a final triple of such operators, which summarizes them all. Inserting the parameters of that triple in the master equations is equivalent to derive the dynamics of the entire network state. Also, the SLH formalism allows one to automatically compose the triples via a programmed algorithm. The final master equations can be solved via numerical integration. In the second part of the thesis, we describe the development of a Python code implemented to solve the SLH equations for arbitrarily connected quantum networks, with input states that can be either coherent or fully non-classical radiation pulses, such as single or two-photon Fock states. After benchmarking this code with published results, we have applied it to a possible new elementary building block of a quantum optical network: a coupled resonator-qubit system, in which the two oscillators are independently driven with either coherent or single photon pulses. We characterize the output of this system as a function of the relevant parameters of the model, and discuss possible physical realizations.

Uno dei principali obiettivi nell’ambito delle tecnologie quantistiche è la simulazione efficiente del comportamento di sistemi quantistici localizzati che interagiscono con stati quantistici estesi o propaganti della radiazione elettromagnetica, come stati di Fock a singolo fotone. In prospettiva, sarebbe interessante poter estendere questa trattazione al caso di reti quantistiche complesse in cui nodi localizzati sono interconnessi mediante canali propaganti. Inoltre, per modellizzare dispositivi fotonici è cruciale tenere in conto delle possibili perdite, ovvero considerare la dinamica non unitaria in un approccio di sistemi quantistici aperti. Questo problema può essere formulato in termini di una teoria input-output di sistemi quantistici in cascata, includendo le perdite. A questo riguardo, è stato sviluppato un utile schema: l’approccio SLH alle reti quantistiche in input-output. In questo progetto di tesi vengono illustrate le basi e alcune applicazioni del formalismo SLH, con l’obiettivo più a lungo termine di descrivere molteplici sistemi quantistici aperti e interagenti tra loro in una configurazione reticolare. La teoria SLH si basa sull’evoluzione dello stato quantistico di un sistema aperto mediante una equazione pilota, in cui la dissipazione viene tenuta in considerazione mediante l’accoppiamento con un bagno, e l’interazione del sistema con il bagno è stocastica. Partendo dalle assunzioni del modello, l’analisi sfrutta le tecniche di calcolo stocastico per derivare un set di equazioni differenziali stocastiche quantistiche che descrivono la dinamica degli operatori del sistema. Queste sono quindi sfruttate per derivare le equazioni del moto per lo stato del sistema, che dipendono da tre operatori: la matrice di scattering S, l’operatore di accoppiamento col bagno L, e l’Hamiltoniana del sistema H. Nella prima parte della tesi viene descritta la derivazione della teoria SLH, che estende i risultati di questa trattazione alla descrizione di sistemi quantistici multipli connessi. Questa descrizione viene ottenuta come una teoria input-output di una rete interconnessa, per cui il primo elemento della rete viene inizializzato con uno stato del campo elettromagnetico definito (ad esempio, uno stato coerente classico, oppure uno stato puramente quantistico della radiazione). La risposta della rete consiste quindi in un campo di output determinato dalla connessione in cascata tra gli elementi concatenati all’interno della rete. Per definire la rete, ciascun sistema localizzato della rete viene caratterizzato da una tripla di operatori S, L, e H, e le diverse triple sono poi combinate mediante semplici regole algebriche. Il risultato è una tripla finale di operatori, che le contiene tutte. Inserendo i parametri della tripla risultante nelle equazioni pilota, viene derivata la dinamica dell’intera rete quantistica. Inoltre, il formalismo SLH consente di comporre automaticamente le triple mediante algoritmi. L’equazione pilota finale può quindi essere risolta numericamente. Nella seconda parte della tesi, si descrive lo sviluppo di un codice numerico in Python implementato per risolvere le equazioni SLH, con l’obiettivo di costruire una rete quantistica dissipativa in cui gli stati di input possono essere arbitrarie combinazioni di stati coerenti o impulsi tempo-dipendenti di stati non classici, come stati di Fock di uno o due fotoni. Dopo aver testato i risultati del codice numerico con quelli presenti in letteratura, lo si è applicato ad un possibile sistema elementare da utilizzare come nodo all’interno di una rete quantistica ottica: un sistema risuonatore-qubit accoppiati, in cui i due oscillatori vengono indipendentemente eccitati mediante stati coerenti o impulsi di singoli fotoni. Si è quindi caratterizzato l’output di questo sistema in funzione dei parametri del modello, e si sono discusse le possibili realizzazioni sperimentali.