Il Mapping Class Group e il Teorema di Dehn-Nielsen-Baer

The mapping class group of an orientable surface, defined as the group of isotopy classes of orientation-preserving homeomorphisms, has applications in several areas of mathematics. Some of these are low-dimensional topology, geometric group theory, algebraic geometry and many more. In this thesis, the basic tools for the study of mapping class groups (such as hyperboilic geometry and simple closed curves on surfaces) are introduced. Moreover, some explicit examples of mapping class groups are computed using the aforementioned ideas. Lastly, the Dehn-Nielsen-Baer theorem, which states that the extended mapping class group of a closed surface is isomorphic to the group of outer automorphisms of the fundamental group, is discussed and a proof of it, which follows the original of Dehn and Nielsen based on the concept of quasi-isometry, is presented.

Il mapping class group di una superficie orientabile, definito come il gruppo di classi di isotopia di omeomorfismi che preservano l'orientazione della superficie, ha svariate applicazioni in diverse aree della matematica. Alcune di queste sono, ad esempio, la topologia della dimensione bassa, la teoria geometrica dei gruppi, la geometria algebrica e molte altre. In questa tesi vengono introdotti i principali strumenti per lo studio dei mapping class groups (come geometria iperbolica e curve semplici sulle superfici) e mostrati alcuni esempi concreti, calcolati con gli strumenti sopracitati. Infine viene discusso il teorema di Dehn-Nielsen-Baer, il quale afferma che il mapping class group esteso è isomorfo al gruppo degli automorfismi esterni del gruppo fondamentale della superficie e permette di legare concetti topologici della superficie con concetti algebrici. Viene presentata una dimostrazione che segue l'originale di Dehn e Nielsen, che utilizza il concetto di quasi-isometria.