Modellizzazione multiagente della dinamica delle opinioni in presenza di epidemie

This master’s thesis addresses the interplay between the epidemic spread and the consensus formation dynamics on protective measures connected with it. This is done by reviewing the existing literature on ODE/PDE-based microscopic, kinetic and macroscopic models - and related analytical and numerical techniques - and by proposing some extensions, whose macroscopic behaviour will be analysed numerically. In more detail, we start by studying an already existing kinetic model of continuous opinion formation involving both exchange of opinion between individual agents and diffusion of information; in particular, we focus on a suitable scaling of compromise and diffusion thatallows to derive a reduced complexity operator of Fokker-Planck type complemented withno-flux boundary conditions. We show that the solution of the aforementioned Fokker-Planck equation - with a non-negative initial data - is positive and its L^1 norm is non-increasing. Then, we describe possible compartmentalisations of the society in presence of an epidemic and we consider a recently introduced kinetic compartmental model suitable to describe the evolution of the opinion of individuals on protective measures in a multi-agent system under the spread of an infectious disease. In addition, we prove the positivity and the uniqueness of the solution to the corresponding Fokker-Planck system, under the hypothesis of non-negative and mass-bounded initial data and exploiting the analytical results of positivity and non-increase of the L^1 norm mentioned above.We propose an extension of the introduced model to mimic more realistic scenarios. We prove that the derived macroscopic equations lead to an explicitly computable steady state for the Fokker-Planck system derived in the quasi-invariant regime, which exhibits a Beta-distributed bimodal shape under suitable assumptions on the opinion dynamic and epidemic parameters and when the time scale of the opinion dynamics is much faster than the one of the epidemics (or, in other words, when the frequency at which the agents modify their opinion in response to the epidemic is high). Furthermore, we conduct two numerical tests that validate some of the results discussed in the previous chapters; from the methodological point of view, we use a Direct Simulation Monte Carlo and Runge-Kutta methods. Lastly, we conclude the thesis with an overview on possible directions to obtain data-oriented results.

Questa tesi di laurea magistrale affronta l'influenza reciproca tra la diffusione dell'epidemia e le dinamiche di formazione dell’opinione sulle misure di protezione. Ciò viene fatto passando in rassegna la letteratura esistente sui modelli microscopici, cinetici e macroscopici basati su ODE/PDE - e le relative tecniche analitiche e numeriche - e proponendo alcune estensioni, il cui comportamento macroscopico viene analizzato numericamente. Più in dettaglio, iniziamo l’elaborato con lo studio di un modello cinetico, già esistente, di formazione (continua) dell'opinione che prevede sia lo scambio di opinioni tra singoli agenti sia la diffusione di informazione; in particolare, ci concentriamo su un opportuno scaling dipropensione al compromesso e di diffusione che consente di ricavare un operatore di tipo Fokker-Planck. Dimostriamo che la soluzione della suddetta equazione di Fokker-Planck - con un dato iniziale non negativo - è positiva e la sua norma L^1 è non crescente. In seguito, descriviamo le possibili compartimentazioni della società in presenza di un'epidemia e consideriamo un modello cinetico a compartimentirecentemente introdottoedadatto a descrivere l'evoluzione dell'opinione degli individui sulle misure di protezione in un sistema multi-agente sotto la diffusione di una malattia infettiva. Inoltre, dimostriamo la positività e l'unicità della soluzione del corrispondente sistema di tipo Fokker-Planck, sotto l'ipotesi di dati iniziali non negativi e con massa limitatae sfruttando i risultati analitici di positività e non incremento della norma L^1 menzionati sopra. Successivamente, proponiamo un'estensione del modello sopramenzionatocon lo scopo di adattarlo ad uno scenario più realistico e dimostriamo che le leggi di conservazione macroscopiche portano ad uno stato stazionario (del sistema Fokker-Planck associato) esplicitamente calcolabile, che presenta una distribuzione (Beta) a forma bimodale sotto opportune assunzioni sulla dinamica dell'opinione e sui parametri epidemicie quando la scala temporale della dinamica di scambio delle opinioni è molto più veloce di quella dell’epidemia. Inoltre, effettuiamo due test numerici che validano alcuni dei risultati discussi nei capitoli precedenti; dal punto di vista metodologico, utilizziamo il metodo Monte Carlo a simulazione diretta ed il metodo Runge-Kutta del quarto ordine. Infine, concludiamo la tesi fornendo una panoramica sulle possibili direzioni in cui estendere l'approccio modellistico e sui test numerici che possono essere ulteriormente condotti.