Basi di Gröbner e dimensione di varietà algebriche

In this thesis, we present the notion of dimension of an affine variety as the degree of the Hilbert polynomial of the ideal associated to the variety. We also deal with the theory of Gröbner bases, particular systems of generators of ideals of polynomial rings which are extremely versatile for many interesting computations from the point of view of the study of algebraic varieties, in particular, for the explicit computation of the dimension of an algebraic variety. These particular systems of generators are defined starting from a monomial order in polynomial rings and are such that the division algorithm for multivariate polynomials is more efficient than when it is applied using a system of generators of the ideal which is not a Gröbner base. The thesis is accompanied by several examples that show how much Gröbner bases play a central role in the calculation of the dimension of a variety and in many other algebraic and geometrical problems.

In questa tesi presentiamo il concetto di dimensione di una varietà affine come grado del polinomio di Hilbert dell'ideale associato alla varietà. Andiamo anche ad approfondire la teoria delle basi di Gröbner, particolari sistemi di generatori di ideali di anelli di polinomi che sono estremamente versatili per molti calcoli interessanti dal punto di vista dello studio delle varietà algebriche, in particolare, per il calcolo esplicito della dimensione di una varietà algebrica. Questi particolari sistemi di generatori sono definiti a partire da un ordine monomiale nell'anello di polinomi e sono sistemi di generatori per cui l'algoritmo di divisione per polinomi in più variabili è più efficace rispetto a quando esso è applicato usando un sistema di generatori dell'ideale qualsiasi. La tesi è corredata da numerosi esempi che mostrano come le basi di Gröbner abbiano un ruolo centrale nel calcolo della dimensione di una varietà e in tanti altri problemi di natura algebrica e geometrica.