Il 16° Problema di Hilbert: le forme delle curve piane reali

The scope of this thesis is to give, in the best possible way, a complete overview of the first part of Hilbert's 16th problem. Along all the work we will follow different papers made through the years since the presentation of the problem in 1900 until the 2000s, trying to appreciate the evolution of the methods implied. We will analyze both natures of the problem, the prohibitions and the constructions of the real planar curves. The prohibitions are a set of necessary conditions on the shape of the curves, while the contructions are the study of the possibile way to build a curve respecting all the prohibitions. Currently we do not know a set of conditions that are both necessary and sufficient neither a construction method that permits to build all the curves. In the various chapters we will give and prove the principal statement, as the Harnack inequality, the Gudkov's congruence and the patchworking method, all correlated with some examples. Finally we will see the latest improvement in the theory regarding the curves of degree 8.

Lo scopo di questa tesi è di presentare, nella miglior maniera possibile, una panoramica completa della prima parte del 16° problema di Hilbert. Lungo tutto il lavoro seguiremo vari articoli pubblicati dall presentazione del problema del 1900 fino agli inizi degli anni 2000, cercando di apprezzare l'evoluzione dei vari metodi coinvolti. Andremo ad analizzare entrambe le nature del problema, le proibizioni e le costruzioni delle curve piane reali. Le proibizioni sono un insieme di condizioni necessari riguardo alla forma di una curva, mentre le construzioni sono lo studio dei possibili modi in cui si può costruire una curva che rispetti le proibizioni. Attualmente non conosciamo né un insieme di condizioni necessarie e sufficienti né un metodo che permetta di costruire tutte le curve. Nei vari capitoli enunceremo e dimostreremo i principali teoremi, tra cui la disugualianza di Harnack, la congruenza di Gudkov e il metodo del patchworking, il tutto implementando vari esempi. Infine andremo a vedere le ultime aggiunte alla teoria della classificazione delle curve di grado 8.