Perturbative solution of the Thirring quantum cellular automaton

Gli Automi Cellulari Quantistici (QCA) sono la più generale dinamica unitaria, locale e discreta nel tempo di una collezione numerabile di sistemi quantistici. Originariamente ideati per simulare efficientemente sistemi quantistici, negli ultimi anni i QCA hanno mostrato grande potenziale nel contesto più ampio della teoria quantistica dell'informazione e dei fondamenti della Meccanica Quantistica, riscuotendo successi promettenti nella formulazione della Teoria Quantistica dei Campi (QFT) a partire da principi informazionali e offrendo possibili soluzioni ad alcune delle sue principali problematiche. Nell'affrontare una sfida tanto ambiziosa, occorre colmare un'importante lacuna presente nella teoria: la caratterizzazione di processi di interazione, un settore ancora largamente inesplorato. In questo lavoro, affrontiamo il problema generalizzando un approccio che si è dimostrato efficace nel contesto della teoria libera — il path-sum — applicandolo all'Automa Cellulare Quantistico di Thirring, la controparte QCA del modello di Thirring, in 1+1 dimensioni. La notevole complessità esibita dall'automa ci ha indotto ad una trattazione perturbativa. Siamo partiti dal considerare un approccio perturbativo nel numero di interazioni, ottenendo una procedura algoritmica per la computazione della matrice di transizione per un processo di interazione a due particelle. Tuttavia, l'algoritmo è risultato non offrire un significativo vantaggio computazionale rispetto alla simulazione classica dell'automa. Ci siamo quindi concentrati sull'individuare un criterio di natura fisica che caratterizzasse regimi dinamici di minore complessità, il che ha portato allo studio del comportamento dell'automa di Thirring attraverso una classificazione dei cammini nei regimi di massa elevata e ridotta. L'analisi condotta ci ha consentito di individuare proprietà generali e simmetrie, stabilendo alcuni risultati validi per qualunque interazione on-site che preservi il numero di particelle in una dimensione spaziale.

Quantum Cellular Automata (QCA) describe the most general unitary, local and time-discrete dynamics of a lattice of countably many quantum systems. They were originally devised to tackle the challenge of efficiently simulating Quantum Physics, posing as a computational model for implementing quantum algorithms capable of outperforming classical computers. However, in recent years, QCA have shown great potential within the broader framework of quantum information theory and quantum foundations, achieving promising success in recovering Quantum Field Theory (QFT) from principles of information processing, offering an alternative route that does not seem to be affected by some of its most prominent issues. Embarking on such an ambitious journey requires an important gap in the theory to be filled. To this day, a full-fledged characterisation of interaction processes within the QCA framework is lacking and is still a largely unexplored path. In this work, we address the issue by attempting to generalise an approach that has proven effective in the non-interacting scenario — the path-sum — to the one-dimensional Thirring Quantum Cellular Automaton, representing the QCA counterpart of the Thirring model in QFT, which is known for its analytical solvability. The notable complexity exhibited by the automaton's evolution led us to the adoption of a perturbative approach. We first considered a perturbative approach in the number of interactions. This yielded an algorithmic procedure for the computation of the two-particle transition matrix that, however, offered no significant advantage compared to a brute-force classical simulation of the automaton. We then focused on identifying a physical criterion to detect dynamical regimes displaying reduced complexity, which resulted in a perturbative approach in the mass parameter of the automaton. We were able to get some insights into the behaviour of the interacting QCA by classifying paths within the borderline regimes of extremely light and extremely heavy particles. The need to analyse complex behaviours made it necessary to seek general properties and symmetries of the Thirring QCA, yielding a few useful results that hold true for all on-site number-preserving interactions in one spatial dimension.