Il comportamento asintotico degli autovalori dell'operatore rotore – The asymptotic behaviour of the eigenvalues of the operator curl

We compute the first three Weyl coefficients of the operator curl, using a novel method based on partition functions. These are introduced as a suitable integral transform of the eigenvalue-counting functions of curl, on the model of the trace of the heat kernel of the Laplace–Beltrami operator. The main computation is accompanied by several technical results that ensure the aptness of our approach. As a preamble, we provide an abridged introduction to the theory of differential operators on manifolds, and a discussion of the spectral asymptotics of the Laplacian – including a derivation of the Rayleigh–Jeans law for the intensity of black-body radiation of given frequency and temperature.

In questa sede calcoliamo i primi tre coefficienti di Weyl dell'operatore rotore, utilizzando un metodo innovativo basato sulle funzioni di partizione. Queste ultime sono introdotte nella forma di un'opportuna trasformata integrale delle funzioni di conteggio degli autovalori del rotore, sul modello della traccia del kernel di calore dell'operatore di Laplace–Beltrami. Il calcolo è accompagnato da diversi risultati tecnici che garantiscono l'adeguatezza del nostro approccio. Come premessa, forniamo un'introduzione succinta alla teoria degli operatori differenziali su varietà e una discussione del comportamento asintotico degli autovalori del laplaciano. Includiamo una derivazione della legge di Rayleigh–Jeans per l'intensità della radiazione di un corpo nero a frequenza e temperatura assegnate.