UNITARITY CONDITIONS FOR HOMOGENEOUS FERMIONIC CELLULAR AUTOMATA

Among the discrete approaches to Quantum Field Theory (QFT) we can trace the crucial role historically played by Quantum Cellular Au- tomata (QCA) in developing the theory. In an attempt to provide a new foundation to QFT we consider the QCA eectively being a realistic ideal- ization of the fundamental mechanism happening at the smallest physical scale. Actually the process of reconstruction of QFT using QCAs is limited to free theories. In order to remodel interacting QFT, non linear QCAs are needed but a complete analysis of the topic is still missing. For this reason scalar non linear nite automata are analysed. The present thesis starts with the analysis of QCA related with groups whose Cayley graph corresponds to Z_2 X Z_2 and Z_5. The analysis aimed at finding the conditions on the local update rule of the QCAs which preserve the canonical anticommutation relations (CAR) for fermionic systems. It is known indeed that, in the nite case, if the update rule is CAR preserving, the evolution of the QCA is unitary. Once we found the unitarity conditions for FCAs on finite Cayley graphs we can generalize the results. The goal is to identify a unied procedure to spot the unitarity conditions for FCAs on general Cayley graphs. The set of equations found is written in a compact form, and the conditions are classied according to whether they are universal or generated by the specic case study. This allowed us to identify universal structure, opening the way to the construction of the general unitarity conditions, extending the result that is already known for the linear case. In the last part of the thesis it is faced an issue not closely connected with the research for unitarity conditions. Since in the fermionic quantum theory local tomography fails, the phenomenon of non local activation of signalling can occur. We show that, even without local tomography and because of the intrinsic nature of the automata, there is no effect like non local activated signalling.

Tra gli approcci discreti alle teorie di campo quantistiche (QFT) si può tracciare il ruole cruciale rivestito storicamente dagli automi cellulari quantistici nello sviluppo della teoria. Nel tentativo di creare dei nuovi e più solidi fondamenti alla QFT consideriamo i QCA come un idealizzazione realistica dell'effettivo meccanismo che accade alla scala fisica minima della Natura. Attualmente questo processo di ricostruzione della QFT attraverso i QCA è limitato alle teorie libere. Per poter affrontare le teorie in interazione sono necessari i QCA non lineari, dei quali, ad oggi, manca un'analisi completa. Per questo gli automi cellulari fermionici (FCA) non lineari sono al centro di questo lavoro. La tesi inizia con l'analisi di FCA collegati a gruppi che hanno come grafi di Cayley Z_2 X Z_2 e Z_5. L'analisi punta a trovare delle condizioni da imporre sulla regola di update locale affinché questa preservi le relazioni di anticommmutazione canoniche (CAR) per sistemi fermionici. Difatti è noto che, nel caso finito, un'evoluzione che preserva le CAR è un'evoluzione unitaria. Una volta che abbiamo trovato queste condizioni per FCA su grafi di CAyley finiti possiamo cercare di generalizzare i risultati. L'obbiettivo stavolta è identificare una procedura unica per individuare le condizioni di unitarietà per FCA su grafi di Cayley generali. L'insieme di equazioni trovate viene riscritto in una forma compatta e le condizioni vengono classificate in base alla loro generalità. Questo permette di scorgere la struttura generale che apre la strada alla costruzione di condizioni di unitarietà generali, estendendo quello che già sappiamo per quanto riguarda il caso lineare. Nella parte finale della tesi si affronta un problema legato a ciò che si è già concluso in maniera non scontata. Poiché nella teoria Fermionica non vale più il principio di tomografia locale, o discriminabilità locale, non c'è niente che vieti che accada il fenomeno della attivazione nnon locale del signalling. Mostriamo come, anche senza tomografia locale, questo non accada proprio a causa della natura intrinseca dell'automa.