H-convergenza e omogeneizzazione di domini perforati

After an introductory chapter dedicated to some preliminary theorems, in the second chapter of this thesis we present the theory of H-convergence. It was introduced by Murat and Tartar to study the limit of a class of elliptic problems in divergence form with Dirichlet boundary conditions on a fixed domain, in which bounded, coercive and not necessarily symmetric matrices appear. These problems can be written as a sequence of bilinear forms and we show that they converge to a bilinear form of the same type. Therefore the solutions of the initial problems tend to the solution of an analogous problem. In the third chapter we consider a Dirichlet problem, similar to the first one, but in domains perforated by regularly distributed holes whose diameters go to zero. In this case the domain is not fixed, but we have a sequence of domains that depend on a parameter epsilon that tends to zero. Three cases can occur in this situation: either the holes are too small and the solutions of the problems converge to the solution of the same problem in the not perforated domain, or the holes are too big and the solutions of the problems converge to zero, or the holes have a critical size. In this last case we show that the limit of the solutions of the problems is the solution of an analogous problem with an additional "strange" term of degree zero. Finally in the fourth chapter we examine a similar problem in a particular domain, called Neumann sieve, characterized by two open sets, separated by a regular sub-surface (of co-dimension one) on which holes, that depend on a parameter approaching zero, are arranged periodically. Like before, the domain is not fixed, but there is a sequence of domains that depend on a parameter epsilon that goes to zero. The difference compared to the previous case is that there is not a single domain, but there are two domains separated by a sub-surface. Like we did in the third chapter, we observe what happens when the parameter approaches zero and we show that the limit of the solutions of the problems is the solution of an analogous problem, but with a particular condition on the sub-surface.

Nella prima parte di questa tesi, dopo un capitolo introduttivo dedicato ad alcune premesse, affrontiamo l'argomento dell'H-convergenza. Esso fu introdotto da Murat e Tartar per studiare il limite di una classe di problemi ellittici in forma di divergenza con condizioni al contorno di Dirichlet su un dominio fissato, in cui compaiono matrici limitate e coercive, non necessariamente simmetriche. Questi problemi possono essere scritti come una successione di forme bilineari che dimostriamo convergere a una forma bilineare dello stesso tipo. Quindi le soluzioni dei problemi iniziali convergono alla soluzione di un problema analogo. Nel terzo capitolo consideriamo un problema di Dirichlet simile ai precedenti, ma in domini perforati da buchi regolarmente distribuiti i cui diametri tendono a zero. In questo caso il dominio non è fissato, ma abbiamo una successione di domini dipendenti da un parametro epsilon che tende a zero. Si possono verificare tre casi: o i buchi sono troppo piccoli e le soluzioni dei problemi convergono alla soluzione dello stesso problema nel dominio non bucato, o i buchi sono troppo grandi e le soluzioni dei problemi tendono a zero, oppure i buchi hanno una dimensione critica. In quest'ultimo caso dimostriamo che il limite delle soluzioni dei problemi è la soluzione di un problema analogo con l'aggiunta di un termine "strano" di grado zero. Infine nel quarto capitolo esaminiamo un problema simile in un dominio particolare, detto setaccio di Neumann, che è composto da due aperti divisi da una sottovarietà regolare su cui sono disposti in modo periodico dei buchi che dipendono da un parametro che tende a zero. Anche in questo caso il dominio non è fissato ma si tratta di una successione di domini che dipendono da un parametro epsilon che tende a zero. La differenza rispetto al caso precedente è che non si tratta di un unico dominio, ma di due domini divisi da una sottovarietà. Come nel caso del terzo capitolo osserviamo cosa succede quando il parametro tende a zero e vediamo che la soluzione del problema tende alla soluzione di un problema analogo, ma con una condizione di trasmissione sulla sottovarietà.