Le lamine saponate: dalle superfici minime alle correnti

The aim of this thesis is to study some important geometric problems of minima and tools to solve them. In the first chapter we analyze some of those problems, like Dido's problem, Plateau's problem and the recent "Double Bubble Conjecture". In the second chapter we formally study minimal surfaces, equivalently defined as surfaces with mean curvature vanishing at every point, and the minimal surfaces equation. Eventually in the third chapter we introduce currents, that generalize the concept of surface: currents spaces have compactness properties, so it is possible to apply the direct method of calculus of variations to find a minimal current, which solves Plateau's Problem.

L'obbiettivo della tesi è di studiare alcuni importanti problemi geometrici di minimo e strumenti risolutivi per gli stessi. Nel primo capitolo si analizzano alcuni di questi problemi, dal problema di Didone, al problema di Plateau, alla più recente "Double Bubble Conjecture". Nel secondo capitolo si studiano in modo formale le superfici minime, la loro caratterizzazione di curvatura media nulla in ogni punto, fino all'equazione delle superfici minime. Infine nel terzo capitolo si introducono le correnti, generalizzazione del concetto di superficie: gli spazi di correnti godono di proprietà di compattezza ed è quindi possibile applicarvi il metodo diretto del calcolo delle variazioni per la ricerca di una corrente di area minima, soluzione del Problema di Plateau.