Flussi gradiente unilaterali ed applicazioni alla meccanica della frattura

In this theses we present the theorical tools needed to define and study gradient flows for increasingly complex energy functionals and fracture mechanics models. First of all, we provide a weak formulation in the Euclidean space through a differential inclusion. We prove the existence of the gradient flow using a Minimizing Movement Scheme, a one-step discrete scheme in which we minimize the functional with an additional viscosity term. We characterize the solution via the notion of curve of maximal slope. Then we study parabolic evolution equations with monotonicity constrains and we adapt the definition of gradient flow to this context. Most importantly, we describe three different discrete schemes to prove that the solution exists, and we represent gradient flows through an energy identity. We find also that, if we ask a greater regularity of the external forces, a better representation holds. For autonomous energies instead we find that the monotonicity constraint can be replaced by a fixed obstacle, given by the initial datum. We apply this idea to a first phase-field model of fracture, where irreversibility is modeled by a monotonicity constraint on the phase-field variable. Thanks to the separate quadratic structure of the Ambrosio-Torterelli energy functional, we can define a discrete solution by means of an Alternate Minimizing Movement Scheme. We prove again the existence of the gradient flow and describe it in terms of an energy balance. We finally present some applications and run a few numerical simulations. We focus on modeling the behaviour of an elastic, brittle material placed on a substrate: we add an L^2 term to the energy functional to impose that not only the displacement is equal to a certain function on the boundary, but that it is also not far from it inside the domain too. Despite the greater complexity of the energy functional, we characterize the notion of gradient flow with an energy equality, and we prove that the solution exists through an Alternate Minimizing Movement Scheme, imposing irreversibility a posteriori by a pointwise truncation.

In questo lavoro costruiremo il quadro teorico necessario a definire e studiare flussi gradiente per funzionali sempre più complessi, fino ad addentrarci in alcune applicazioni alla meccanica della frattura. Incominceremo con il trattare il caso Euclideo in una formulazione debole, sfruttando un'inclusione differenziale: dimostreremo l'esistenza della soluzione attraverso un Minimizing Movement Scheme, uno schema discreto ad un passo che prevede la minimizzazione del funzionale più un termine di viscosità. Caratterizzeremo la soluzione attraverso la nozione di curva di massima pendenza. Successivamente studieremo equazioni di evoluzione paraboliche con vincoli di monotonia e adatteremo la definizione di flusso gradiente a questo contesto, ma soprattutto introdurremo tre schemi discreti differenti per dimostrarne l'esistenza. La soluzione sarà caratterizzata da un bilancio energetico. Chiedendo una maggior regolarità delle forze esterne, riusciremo a rappresentare ancor meglio la soluzione e, considerando invece energie autonome, vedremo che la soluzione ottenuta con il vincolo di monotonia coinciderà con quella ottenuta con un ostacolo fisso, determinato dal dato iniziale. Applicheremo poi quest'idea ad un primo modello phase-field di meccanica della frattura, in cui il vincolo di monotonia ci permetterà di rappresentare l'irreversibilità del fenomeno. Grazie alla particolare forma del funzionale di Ambrosio-Torterelli, separatamente quadratico nella variabile phase-field e nello spostamento, potremo trovare un flusso gradiente attraverso un Alternate Minimizing Movement Scheme. Anche in questo caso riusciremo a trovare un bilancio energetico che la soluzione dovrà soddisfare. Esporremo infine alcune applicazioni e ne accompagneremo una parte con delle simulazioni numeriche. Svilupperemo nel dettaglio quella che prevede la presenza di un substrato, cioè l'aggiunta di un termine L^2 che impone, oltre al fatto che al bordo lo spostamento coincida con una funzione, che non se ne discosti molto nemmeno all'interno del dominio. Nonostante la maggior complessità del funzionale energia, dopo aver rappresentato il flusso gradiente attraverso un bilancio energetico, riusciremo a dimostrarne l'esistenza sempre grazie ad un Alternate Minimizing Movement Scheme, questa volta imponendo l'irreversibilità tramite un troncamento a posteriori.