Harmonic maps and Teichmüller spaces

The thesis is aimed at the study of Teichmüller spaces through the use of harmonic maps theory. After the introduction of preliminary notions relating Riemann surfaces and harmonic maps between Riemannian manifolds, the attention is focused on a series of results of existence, uniqueness and regularity for harmonic maps between Riemann surfaces, which, besides being the central tool for the construction of Teichmüller spaces, have an independent significance within the area of geometric analysis. A special effort is done, in particular, in giving a direct proof of the existence of energy minimizing maps between Riemann surfaces under appropriate generalized assumptions. The analysis of Teichmüller spaces fills entirely the last chapter: the problem of classifying Riemann surfaces of genus at least two up to isomorphisms finds an answer in the so-called Wolf parametrization, which establishes a fundamental relation between Teichmüller spaces and the spaces of holomorphic quadratic differentials. The case of flat tori is treated separately. The chapter finally ends with the analysis of the Thurston compactification for Teichmüller spaces.

La tesi è volta allo studio degli spazi di Teichmüller tramite l’utilizzo della teoria delle mappe armoniche. Dopo l’introduzione di alcune nozioni preliminari riguardanti superfici di Riemann e mappe armoniche tra varietà Riemanniane, l’attenzione si focalizza su una serie di risultati relativi a esistenza, unicità e regolarità di mappe armoniche tra superfici di Riemann, i quali, oltre ad essere lo strumento principale per la costruzione degli spazi di Teichmüller, hanno di per sé un valore rilevante all’interno della geometria analitica. Uno sforzo particolare è fatto, nello specifico, nel dare una dimostrazione diretta dell’esistenza di mappe armoniche tra superfici di Riemann che siano minimi per il funzionale energia, sotto opportune condizioni generalizzate. L’analisi degli spazi di Teichmüller occupa interamente l’ultimo capitolo: il problema di classificare le superfici di Riemann, di genere almeno due, a meno di isomorfismo trova risposta nella cosiddetta parametrizzazione di Wolf, che stabilisce una relazione fondamentale tra gli spazi di Teichmüller e gli spazi di differenziali quadratici olomorfi. Il caso dei tori piatti è trattato separatamente. Il capitolo termina, infine, con l’analisi della compattificazione proposta da Thurston per gli spazi di Teichmüller.