Convergenza di problemi con ostacolo

The aim of the thesis is to investigate the behavior of sequences of obstacle problems. Among obstacle type problems, we study problems of calculus of variations and variational inequalities where we look for a solution u, taken in an appropriate space of functions V , such that u ≥ ψ. In fact the function ψ is what we call obstacle. In particular, if we define K := {v ∈ V : v ≥ ψ}, we analyze the two following problems: we look for u ∈ K such that E(u) ≤ E(v) ∀v ∈ K, (1) where E is a given functional which represents an energy, or we want to find u ∈ K such that <Au − L, v − u> ≥ 0 ∀v ∈ K, (2) where Au, L ∈ V^∗ . Actually, we will show that the problem (2) is equivalent to look for u ∈ K such that Au − L ≥ 0 and <Au − L, u − ψ>= 0. Moreover we prove that the two formulations (1) and (2) are equivalent when the operator A admits a potential. In Chapter 2, considering the problem in the sense of the variational inequality and thanks to Lions-Stampacchia theorem, we prove the existence and uniqueness of the solution for obstacle problems when we look for solutions in closed and convex sets contained in the Sobolev space H^1 . Actually, under appropriate assumptions, we have better regularity, for instance we can expect u to be an element of W^{2,p} for 1 < p < +∞ or C^{1,α} with 0 < α < 1. Moreover we will prove that a solution satisfies natural properties such as the comparison and the maximum principles. In Chapter 3, we prove some stability results for the solution together with different error estimations for the approximation of the solution in a numerical sense. Then we introduce new concepts of convergence respectively for operators and convex sets (basically the type of objects involved in an obstacle problem). More precisely we define the so called Mosco-convergence for convex sets and for operators. In this way, given a sequence of obstacles which we suppose to converge in different ways, we can discuss when and if the corresponding sequence of convex sets Mosco-converges. Or, given a sequence of matrices which converge uniformly and define a sequence of operators (A_n)_n, we verify if (A_n )_n can Mosco-converge. Besides, coming back to the minimum problem formulation, we deal with a bunch of examples where we define different sequences of obstacle problems and we discuss, exploiting tools from the calculus of variation, if they can converge to an obstacle problem of the same structure in the sense of the Γ-convergence and consequently if the corresponding sequence of solutions (u n ) n converges in some topologies to the solution of the Γ-limit problem. Finally, knowing the previous results and employing the theory of p-capacity, we are able to analyze the homogenized problem: the case of a sequence of obstacle problems with varying periodic obstacles. A couple of theorems will prove the convergence of this sequence to an obstacle problem in which now a non-linear penalization term appears.

L'obiettivo della tesi è quello di studiare il comportamento delle successioni di problemi con ostacolo. Tra i problemi con ostacolo, ci occupiamo di problemi di calcolo delle variazioni e di disuguaglianze variazionali dove si cerci una soluzione u, presa in uno spazio appropriato di funzioni V , tale che u ≥ ψ. La funzione ψ è ciò che chiamiamo ostacolo. In particolare, se definiamo K := {v ∈ V : v ≥ ψ}, trattiamo i due casi successivi: cerchiamo u ∈ K tale che E(u) ≤ E(v) ∀v ∈ ∈ K, (1) dove E è un funzionale fissato che rappresenta un'energia, oppure vogliamo trovare u ∈ K tale che <Au - L, v - u> ≥ 0 ∀v ∈ ∈ K, (2) dove Au, L ∈ V^∗ . In realtà, mostreremo che il problema (2) equivale a cercare u ∈ K tale che Au - L ≥ 0 e <Au - L, u - ψ>= 0. Inoltre si dimostra che le due formulazioni (1) e (2) sono equivalenti quando l'operatore A ammette un potenziale. Nel capitolo 2, considerando il problema nell'ottica variazionale e grazie al teorema di Lions-Stampacchia, dimostriamo l'esistenza e l'unicità della soluzione per i problemi con ostacolo quando cerchiamo soluzioni in insiemi chiusi e convessi contenuti nello spazio Sobolev H^1 . In realtà, sotto ipotesi appropriate, è garantita una maggiore regolarità. Ad esempio possiamo aspettarci che u sia un elemento di W^{2,p} per 1 < p < +∞ o C^{1,α} con 0 < α < 1. Inoltre dimostreremo che una soluzione soddisfa proprietà naturali come il principio del confronto e il principio del massimo. Nel capitolo 3, dimostriamo alcuni risultati di stabilità per la soluzione e alcune stime per l'errore di approssimazione numerica della soluzione. Inoltre introduciamo nuovi concetti di convergenza, rispettivamente per gli operatori e per gli insiemi convessi (fondamentalmente il tipo di oggetti coinvolti in un problema con ostacolo). Più precisamente definiamo la cosiddetta Mosco-convergenza per gli operatori e per gli insiemi convessi. In questo modo, data una successione di ostacoli convergente in topologie differenti, possiamo valutare quando e se la corrispondente successione di insiemi convessi converge nel senso dato da Mosco. Oppure, data una successione di matrici che convergono uniformemente e definiscono una successione di operatori (A_n)_n, verifichiamo se (A_n)_n può convergere nel senso di Mosco. Inoltre, tornando alla formulazione del problema in termini di minimo, analizziamo una serie di esempi in cui definiamo successioni di problemi con ostacolo e discutiamo, sfruttando strumenti del calcolo delle variazioni, se possono convergere ad un problema con ostacolo della stessa forma nel senso dato dalla Γ-convergenza e di conseguenza se le corrispondenti successioni di soluzioni (u_n)_n convergono alla soluzione del problema limite in qualche topologia. Infine, a partire dai risultati precedenti e utilizzando la teoria della p-capacità, siamo in grado di analizzare il problema omogeneizzato: ovvero il caso di una successione di problemi con ostacolo con ostacoli periodici variabili. Vedremo alcuni risultati che dimostreranno la convergenza di questa successione ad un problema con ostacolo in cui appaia un termine di penalizzazione non lineare.