MAX-ENT APPROXIMANTS AND APPLICATIONS WITH COLLOCATION METHOD

In this work we present a new family of approximation schemes based on the maximum entropy, which are genereated by a compromise between the statistic inference of the nodes of the domain and the necessity to have lacal shape functions. During this research we outline the principal mathematical and phisicist features, with particular attention to computational codes. In particular we focus on the Janeys' maximum entropy principle and on the Shannon theorem; from a phisicist viewpoint, instead, we deline the termodynamical background which define the formal aspect of the shape functions. Starting form the general features of meshfree methods with first order consistency condition (LME) and second order consistency condition (SME), we focalize on the shape functions and associated derivatives construction. In particular we follow step by step the Lagrangian minimization with Newton-Raphson method, which is the core of the program. To give a concrete vision of the approximants we have inserted in our work some pratical exemples to test how the approximants work. At least we approce to some elasticity problems, in which we have used the collation method: this choice has been made to test, in particular, the second derivatives of our approximation schemes. In general those methods are very oneorus in a pure computational viewpoint, so we have proposed some methods to improve the performances of the straight program and we have analized the results in terms of time, memory and number of iterations economized. In the last part of the work we give a critical opinion on those new meshfree approximants, in particular we propose the concrete usage of LME program then SME one, in fact we show how in problems like the shell with quarter hole the LMEs are better interpolating the exact results then SMEs. The second max-ent approximants, in fact, show concrete problems with random grid of nodes and so they do not have the typical general character needed by a good meshfree method.

In questo lavoro viene presentata una famiglia di schemi di approssimazione meshfree basati sulla massima entropia che traggono la loro base da un compromesso computazionale, nel senso ottimale inteso da Pareto, tra l'imparziale inferenza statistica dei nodi del dominio e la necessità di avere funzioni di forma quanto più possibile locali. Nella presente ricerca si illustrano le fondamenta matematico - fisiche che sorreggono il metodo con particolare attenzione alla loro implementazione nei codici di calcolo. Nello specifico, ci si sofferma sul principio di massima entropia di Jaynes e sullla misura dell'entropia fornita dal teorema di Shannon; dal punto di vista fisico si punta lo sguardo sul background termodinamico che costituisce il punto di partenza dell'aspetto formale di definizione delle funzioni di forma in seguito illustrate. Partendo dalle necessarie condizioni preliminari tipiche di tutti i metodi senza mesh, vengono delineate le caratteristiche dei metodi di approssimazione aventi ordine di consistenza lineare (LME) e quadratico (SME), focalizzando l'attenzione sulla costruzione delle funzioni di forma e delle loro derivate prime e seconde. In particolare viene seguito passo passo tutto l'iter di costruzione delle funzioni, dalla delineazione del problema di minimizzazione Lagrangiano al metodo iterativo di Newton-Raphson utilizzato per trovare i minimi del problema. In special modo ci si vuole concentrare sulle derivate prime e seconde delle funzioni in quanto esse costituiscono la base per la risoluzione dei problemi pratici che ci proponiamo di affrontare; perciò nella trattazione sono stati inseriti, all'interno dei vari paragrafi alcuni esempi di applicazione degli approssimanti, sia del primo che del secondo ordine, con l'itenzione di testarne l'efficacia nella riproduzione di semplici funzioni mono e bidimensionali. Infine, una volta completata la delineazione pura del metodo, verranno affrontati alcuni problemi di elasticità lineare in campo bidimensionale. In questi esempi è stato sfruttato il metodo di collocazione con condizioni di Cauchy al contorno; la scelta di questa strada è essenzialmente dettata dalla disponibilità delle derivate seconde che ci consente di formulare il problema elastico in forma forte, senza la necessità di una formulazione debole che implicherebbe il calcolo degli integrali della soluzione sul dominio di definizione. I test svolti puntano a mettere in evidenza le potenzialità del metodo e a sottolinearne le criticità in certune situazioni. Risulta evidente come le performance del metodo siano essenziali per la sua applicabilità; in tal senso ci si è soffermati su alcuni aspetti di programmazione del codice scritto parte in Matlab (per quel che concerne la parte preliminare di definizione del dominio) e parte in FORTRAN 77 (per la parte di calcolo delle funzioni vere e proprie e delle sue derivate, che costituisce il cuore del programma); in particolare sono state evidenziate le strategie attuate per velocizzare l'esecuzione dei cicli dell'eseguibile e per ridurre l'utilizzo di memoria RAM. Infine si fornisce un giudizio critico, maturato dall'esperienza pratica, nel quale si delineano i dubbi sul reale utilizzo del metodo SME in quanto poco performante in condizioni di mesh costituite da nodi sparsi. Diversa è invece la valutazione che si è data al metodo LME: quest'ultimo ha, infatti, dimostrato una capacità di adattamento e una precisione nella correttezza dei risultati, ottima anche in situazioni di per sè critiche per l'esercizio del metodo stesso, come esemplificato nel caso della piastra con quarto di cerchio in trazione. Essendo questo un lavoro di ricerca volto, essenzialmente, a delineare gli aspetti pratici dell'implementazione degli schemi di approssimazione è stato ritenuto utile l'uso frequente di immagini che consentano una miglior interpretazione di situazioni che altrimenti risulterebbero talvolta astratte.