Costruzione della soluzione debole di due equazioni di Fokker-Planck interagenti e studio del comportamento asintotico con gli strumenti del Trasporto Ottimale.

The Fokker-Planck equation plays a central role in the study of fluctuations which occur in biological and physics systems. It is well known that its general behaviour, driven by a confinement potential, results in a state of equilibrium for long times, which is reached exponentially fast. What happens if we slightly perturb the potential? Moved by this question, our aim is to study two coupled Fokker-Planck equations whose solutions are interacting. We examined how the interaction term affects the behaviour of the system, building up a weak solution by means of Optimal Transport theory and proving that, only in very strong hypothesis, we are able to prove the exponentially fast convergence of the solution towards the equilibrium, as in the classical model.

L'Equazione di Fokker-Planck gioca un ruolo centrale nello studio delle fluttuazioni che si verificano nei sistemi fisici e biologici. E' risaputo che la soluzione dell'equazione, il cui comportamento è guidato da un potenziale di confinamento, converge alla soluzione stazionaria in tempo esponenzialmente rapido. Cosa succede se perturbiamo leggermente questo potenziale? Guidati da questa domanda, il nostro obiettivo è stato quello di studiare un sistema di due equazioni di Fokker-Planck accoppiate le cui soluzioni interagiscono. Abbiamo esaminato come il termine di interazione abbia influenzato il comportamento del sistema, costruendo una soluzione debole tramite gli strumenti del Trasporto Ottimale e provando che, solo sotto ipotesi molto forti, questa converge alla soluzione stazionaria in tempo esponenzialmente veloce, come nel caso classico.