Analisi e metodi numerici per problemi ellittici con ostacolo

The term “obstacle problems” denotes a class of variational problems in which it appears a unilateral constraint, represented by obstacle, on the domain or on a part of the domain. To such type of problems can be traced, for instance, the study of the fluid pressure in a dam: the Baiocchi transform allows indeed to bring the free boudary problem for the dam to a variational elliptic inequality. In this dissertation we have studied and gathered several results following different directions of research on the obstacle problems: formulations (with variational inequalities and minimization problem for the energy functional), existence and uniqueness of solutions, stability and Mosco convergence, comparison and maximum principle, regularity, discretization with finite elements (and error estimate) and finally the penalty method. In particular, we have proved the equivalence between the solution of variational inequalities, arising from obstacle problems, and the solution of the minimization problems for the energy functionals, associated with these inequalities. Existence and uniqueness of solutions for variational inequalities generally follow from the application of the projection theorem, in the linear case, or more in general from Lions-Stampacchia theorem, also applicable in the non-linear case. Next, we defined the Mosco convergence of a family of convex sets to a limit set and applying the Mosco theorem, we obtained a result on the convergence of solutions for the associated variational inequalities. From this result follow two quantitative error estimates, that allow to estimate the continuous dependence of solutions on data, obstacles and elliptic operators. Moreover, we studied the comparison of solutions of certain inequalities as a function of a suitable ordering of data and operators. Furthermore, we proved, on this base, a maximum principle for variational inequalities. The reguarity results follow, instead, from the application of appropriate dual estimates that allow, as a function of the regularity of the data, to estimate the regularity of solutions; we obtained in particular sufficient conditions to have solutions of class H^2. The numerical solution of these problems passes through the constrained minimization of the energy functional associated with the variational inequality, which in turn can be recast in a free minimization of another functional, modified by the addition of a term called “penalty”. Sending to zero the penalty parameter the solutions of these problems converge to the solution of the obstacle problem; in particular the error, in the H^1 norm, is estimated by the square root of penalty parameter. Subsequently, using finite element method, we have approximated numerically the solution of the penalty problem, obtaining another error estimate. Then, from the previous results, we obtained an estimate that links the solution of the initial problem with the solution that we have found using the Galerkin method; setting the penalty parameter equal to the square of the discretization parameter, we finally got a linear trend of the error in the H^1 norm.

Con il termine “problemi con ostacolo” si indica una classe di problemi variazionali nei quali compare un vincolo unilaterale, rappresentato dall'ostacolo, sul dominio o su una parte del dominio. A tale tipologia di problemi può essere ricondotto ad esempio lo studio della pressione dei fluidi nelle dighe: la trasformazione di Baiocchi permette infatti di ricondurre il problema a frontiera libera della diga ad una disuguaglianza variazionale ellittica. Nella tesi abbiamo studiato e raccolto molti risultati seguendo diverse direzioni di ricerca sui problemi con ostacolo: formulazioni (con disuguaglianze variazionali e problemi di minimo per il funzionale energia), esistenza ed unicita' delle soluzioni, stabilita' e convergenza secondo Mosco, ordinamento e principio di massimo, regolarita', discretizzazione con elementi finiti (e stime d'errore) e infine il metodo di penalty. In particolare, abbiamo dimostrato l'equivalenza tra le soluzioni delle disuguaglianze variazionali derivanti da problemi con ostacolo e le soluzioni del problema di minimizzazione del funzionale energia associato a tali disuguaglianze. I risultati di esistenza ed unicità della soluzione per le disuguaglianze variazionali seguono in genere dall'applicazione del teorema delle proiezioni, nel caso lineare, o piu' in generale dal teorema di Lions-Stampacchia, applicabile anche nel caso non-lineare. Abbiamo definito la convergenza secondo Mosco di una famiglia di convessi ad un insieme limite ed applicando il teorema di Mosco, siamo giunti ad un risultato di convergenza delle soluzioni dei problemi definiti sulla famiglia di convessi, alla soluzione del problema definito sull'insieme limite. Da ciò sono seguite anche due stime d'errore di natura quantitativa, che permettono di stimare la dipendenza delle soluzioni al variare dei dati, dell'ostacolo e dell'operatore ellittico. Abbiamo, inoltre, confrontato due soluzioni di disuguaglianze variazionali in funzione di un ordinamento dei dati e degli operatori. Da questo abbiamo poi dimostrato un principio del massimo. I risultati di regolarità seguono invece dall'applicazione di opportune stime duali che ci permettono, in funzione della regolarità dei dati, di stimare quella delle soluzioni. In particolare abbiamo ottenuto condizioni sufficienti per avere regolarita' H^2. La risoluzione numerica di tali problemi passa dalla minimizzazione vincolata del funzionale energia associato alla disuguaglianza variazionale, ricondotta a sua volta ad una minimizzazione libera di un altro funzionale, che è modificato dall'aggiunta di un termine detto “di penalty”. Facendo tendere a zero il parametro di penalty la soluzione di tale problema converge a quella del problema con ostacolo; si ottiene in particolare che l'errore in H^1 è dell'ordine della radice quadrata del parametro di penalty. Successivamente, mediante il metodo degli elementi finiti, abbiamo approssimato numericamente la soluzione del problema con penalty, ottenendo un'altra stima d'errore. Infine si è osservato come dalle precedenti si ottenga una stima finale che lega la soluzione del problema iniziale con quella trovata facendo uso del metodo di Galerkin; ponendo il parametro di penalty pari al quadrato del parametro di discretizzazione, abbiamo ottenuto un andamento lineare dell'errore in norma H^1.