PROPAGAZIONE DEL CAOS PER IL MODELLO DI DIFFUSIONE DI McKEAN

First part of this dissertation is a general recall of Markov chains and processes using general theory of probability. Some classical examples are displayed, as compound Poisson process and Brownian motion. Propagation of chaos is defined following Alex Gottlieb's outline. Some theorems follow, evaluating when chaos propagation happens for sequences of measures and homogeneous Markov processes. Part of this dissertation studies semigroup theory and abstract differential equations, useful instruments to concentrate subsequently on Kolmogorov backward equation and its connection with a Markovian semigroup: topics taken from Lakshmikantham's book. This work comes together with analysis of Ito processes and their infinitesimal generators, studied from Baldi's book Eventually, this work as a whole has been gathered studying McKean model, taken from Sznitman lecture notes. A particular Ito diffusion is studied using the theory developed before, assuming the right hypothesis for existence and uniqueness for the related SDE. By solving a parabolic differential equation and some limit procedures, it has been verified practically propagation of chaos for this model.

La prima parte della tesi richiama i concetti di catena e processo di Markov utilizzando la teoria della probabilità. Sono esposti alcuni esempi classici, come il processo di Poisson composto e il moto Browniano. Seguendo l'impostazione di Alex Gottlieb si è definito il concetto di propagazione del caos. Seguono alcuni teoremi per valutare quando questo fenomeno occorra per successioni di misure e processi Markoviani omogenei. Una parte della tesi è dedicata allo studio della teoria dei semigruppi ed equazioni differenziali astratte, strumenti utili per poter successivamente concentrarsi sull’equazione di Kolmogorov all’indietro e il suo legame con un semigruppo Markoviano: materiale reperito dal libro di Lakshmikantham. Ciò si unisce allo studio dei processi di Ito e ai loro generatori infinitesimali, per cui si è fatto riferimento al libro di Baldi. Infine, tutto questo lavoro è stato unificato nello studio del modello di McKean, reperito su dispense di Sznitman, Si studia una particolare diffusione di Ito attraverso la teoria sviluppata precedentemente, assumendo le corrette ipotesi di esistenza e unicità per la SDE collegata. Attraverso la risoluzione di un'equazione differenziale parabolica e passaggi al limite, è stata verificata effettivamente la propagazione del caos per questo modello.