Algebra of observables and states for quantum Abelian duality

The study of dualities is a central issue in several modern approaches to quantum field theory, as they have broad consequences on the structure and on the properties of the theory itself. We call Abelian duality the generalisation to arbitrary spacetime dimension of the duality between electric and magnetic field in Maxwell theory. In the present thesis, in the framework of algebraic quantum field theory, the Abelian duality for quantum field theory on globally hyperbolic spacetime with compact Cauchy surface is tackled. Fistly, the algebra of observables is constructed. It is shown that it can be presented as the direct sum of three pre-symplectic Abelian groups, each corresponding to a different sector of the theory. As a consequence, it is possible to provide quantum states for the theory by building separate states on each direct summand. In particular, the two dimensional case and the four dimensional case are discussed; a ground Hadamard state in a suitable sense is proved to exist for both of them. Lastly, it is shown that the Abelian duality is implemented by unitary operators at the level of the GNS Hilbert space.

Lo studio delle dualità è un tema centrale in diversi approcci moderni alla teoria quantistica di campo, poiché esse hanno importanti conseguenze sia sulla struttura che sulle proprietà della teoria. Definiamo dualità Abeliana la generalizzazione a spazitempo di dimensione arbitraria della dualità tra campo elettrico e campo magnetico nella teoria di Maxwell. Nella presente tesi, nel contesto della teoria algebrica quantistica di campo, si affronta la dualità Abeliana per teorie quantistiche di campo su spazitempo globalmente iperbolici con superficie di Cauchy compatte. In primo luogo, si procede alla costruzione dell'algebra delle osservabili. Mostriamo come il gruppo delle osservabili possa essere decomposto come somma diretta di tre gruppi Abeliani presimplettici, ciascuno dei quali corrisponde ad un diverso settore della teoria. Di conseguenza, è possibile assegnare uno stato quantistico per la teoria costruendo separatamente stati su ciascun elemento della somma diretta. In particolare, sono analizzati in dettaglio il caso di dimensione due ed il caso di dimensione quattro; per entrambi, dimostriamo l'esistenza di uno stato ground con singolarità di tipo Hadamard. Da ultimo, si mostra che la dualità Abeliana è implementata da operatori unitari a livello dello spazio di Hilbert fornito dalla rappresentazione GNS.