Riducibilità ed irriducibilità per canali quantistici.

The thesis aims at the study of irreducibility, period and communication classes for quantum channels, which can be seen as a generalization of Markov chains used to model quantum evolutions. After the introduction of preliminary definitions and results relating Markov chains and operators on Hilbert space, the attention is firstly focused on the construction of finite-dimensional quantum probability spaces and on the similarities between this new kind of probability space and the classical one. Then the focus shifts on a series of properties about reducibility and irreducibility of a quantum channel on a given Hilbert space H, studying the consequences for the decomposition into irreducible subsystems, characterization of invariant states, period and ergodic behaviour. The thesis finally deals with two interesting examples of quantum channels: the first one is a quantum channel on a bidimensional Hilbert space, whose features, can be characterized in terms of matrices and vectors; the second one is an open quantum random walk (OQRW) on a circulant graph.

La tesi è rivolta allo studio dell'irriducibilità, del periodo e delle classi di comunicazione per i canali quantistici, che possono essere considerati una generalizzazione delle catene di Markov, usata per le evoluzioni di un modello quantistico. Dopo l'introduzione di definizioni e risultati preliminari riguardanti le catene di Markov e gli operatori su spazi di Hilbert, l'attenzione si concentra sulla costruzione degli spazi di probabilità quantistici finito-dimensionali e sulle analogie tra questo nuovo tipo di spazio di probabilità e quello classico. In seguito l'attenzione si sposta su alcuni risultati riguardanti la riducibilità e l'irriducibilità di un canale quantistico su un dato spazio di Hilbert H, studiando le conseguenze per la decomposizione in sottosistemi irriducibili, per la caratterizzazione degli stati invarianti, per il periodo e il comportamento asintotico. Infine la tesi tratta due esempi interessanti di canali quantistici: il primo è un canale quantistico su uno spazio di Hilbert bidimensionale, le cui caratteristiche possono essere studiate in termini di matrici e vettori; il secondo è una passeggiata aleatoria quantistica aperta su un grafico ciclico.