Alcuni aspetti matematici delle teorie di Yang-Mills classiche e quantistiche

This thesis is devoted to some mathematical aspects of classical and quantum Yang-Mills theory. We describe the setting of Hodge theory and of the differential geometry of connections on vector bundles needed to formulate the Yang-Mills equations, and recall some classical results on their finite energy solutions. We then introduce the definition of a perturbative quantum field theory proposed recently by Kevin Costello, and discuss the deep problem (solved by Costello) of its equivariance with respect to gauge transformations.

Lo scopo di questa tesi è lo studio di alcuni aspetti matematici sia classici che quantistici della Teoria di Yang-Mills. Dopo un capitolo introduttivo in cui vengono richiamati i concetti fondamentali della teoria di Hodge e della geometria delle connessioni su fibrati vettoriali in cui queste teorie di campo trovano la loro naturale collocazione, si esaminano le equazioni di Yang-Mills dal punto di vista classico. Si introduce poi la definizione matematica di una teoria di campo quantistica perturbativa proposta da Kevin Costello e si accenna al complesso problema (risolto da Costello) della sua invarianza rispetto a trasformazioni di gauge.