Global existence results for PDE problems arising from microwave heating

In this thesis, we deal with some PDE problems arising from a physical model of microwave heating. In particular, we focus on a classical RCL circuit in which a thermistor is inserted: in this physical setting, we know that the voltage V across the capacitor, the electrostatic potential φ and the absolute temperature θ have to satisfy a coupled system of three nonlinear differential equations with appropriate boundary and initial conditions. The aim of the thesis is to consider the system from a more general mathematical perspective and prove an existence result for it. Firstly, it is immediately clear that the equation involving θ can be treated separately and represents an independent and interesting problem in a mathematical approach. In Chapter 1, we provide an existence result for it as well as a continuous dependence property in a more abstract mathematical setting. More specifically, the idea of the proof is to accurately approximate the problem and recover a solution in this simpler case; then, some uniform estimates are found and a passage to the limit provides a solution for the original equation. In Chapter 2, we focus on the original system of three equations and we present a proof of existence relying on the result already treated. Here, the idea is to discretize the temporal interval, introduce appropriate delay and truncation terms, and build an approximate solution "step by step” with the help of the main theorem presented in Chapter1. Secondly, some sharp uniform estimates are obtained on the approximate solutions and through compactness results we prove that we can pass to the limit in the time discretization and on the truncation term, recovering thus a global solution for the original problem. Finally, let us mention that the results described in this this thesis have also been the object of the two papers “L. Scarpa. A doubly nonlinear evolution problem related to a model for microwave heating” and “P. Colli and L. Scarpa. Existence of solutions for a model of microwave heating”, the first having appeared on “Advances in Mathematical Sciences and Applications” (2014) and the second having been recently submitted.

In questa tesi, sono trattati alcuni problemi per equazioni a derivate parziali che sorgono dallo studio di un modello fisico di riscaldamento a microonde. In particolare, ci si concentra su classico circuito RLC nel quale viene inserito un termistore: in questo quadro, sappiamo che la differenza di potenziale V ai lati del condensatore, il potenziale elettrostatico φ e la temperatura assoluta θ devono soddisfare un sistema di tre equazioni non lineari alle derivate parziali con opportune condizioni al bordo e iniziali. L’obiettivo di questa tesi è di studiare il sistema da un punto di vista matematico più astratto e di dimostrare un risultato di esistenza globale per lo stesso. Da una prima analisi del sistema, risulta subito evidente che l’equazione in θ può essere trattata separatamente e rappresenta un problema indipendente e molto interessante dal punto di vista matematico. Nel primo capitolo, forniamo un risultato di esistenza e di dipendenza continua in un quadro matematico più generale. Nello specifico, l’idea della dimostrazione è di approssimare opportunamente il problema e ottenere una soluzione in questo caso meno complesso; in secondo luogo, sono ottenute delle stime uniformi sulle soluzioni approssimate che permettono di passare al limite e trovare una soluzione all’equazione originaria. Nel secondo capitolo, ci si concentra sull’intero sistema di tre equazioni e viene fornita una prova di esistenza globale sfruttando il risultato già presentato nel capitolo precedente. In questo caso, l’idea è di discretizzare l’intervallo temporale e di introdurre opportuni termini di ritardo e di troncamento: quindi, una soluzione approssimata viene costruita passo per passo con l’aiuto del teorema di esistenza oggetto del primo capitolo. In secondo luogo, sono dedotte stime uniformi ad hoc sulle soluzioni approssimate che insieme a noti risultati di compattezza permettono di passare al limite sia sulla discretizzazione in tempo sia sui termini di troncamento, ottenendo in tal modo una soluzione globale del problema. Infine, segnaliamo che i risultati presentati in questo elaborato sono stati oggetto dei due articoli “L. Scarpa. A doubly nonlinear evolution problem related to a model for microwave heating” e “P. Colli and L. Scarpa. Existence of solutions for a model of microwave heating”: il primo è apparso sulla rivista “Advances in Mathematical Sciences and Applications” (2014) e il secondo è stato recentemente inviato ad un’altra rivista.