Ottimizzazione di forma spettrale in dinamica delle popolazioni: esistenza e proprietà dei minimi

The purpose of this thesis is to collect and generalize some results concerning the minimization of the positive principal eigenvalue $\lambda_1$ of an indefinite weighted problem associated with the Neumann Laplacian in a domain $\Omega \subset \R^N$. This optimization problem arises in the investigation of the survival threshold in population dynamics. For an arbitrary domain, it is shown that every global minimizer must be of “bang-bang” type, thus obtaining a shape optimization problem. We will then study the one dimensional case in the context provided in literature and in a generalized one. After recalling that the minimization problem in $N$ dimensions admits no spherical optimal shapes (despite some previously stated conjectures) we investigate whether spherical shapes can be recovered in some singular perturbation limit. We indeed show that, whenever the negative part of the weight diverges, the above shape optimization problem approaches in the limit the so called spectral drop problem which, for suitable choices of the domain $\Omega$, admits optimal spherical shapes.

In questa tesi ci occuperemo di raccogliere e generalizzare alcuni risultati sulla minimizzazione del primo autovalore principale positivo $\lambda_1$ del problema (con peso di segno variabile) associato al Laplaciano con condizioni al bordo di Neumann su un dominio $\Omega \subset \R^N$. Questo problema di ottimizzazione emerge nello studio del comportamento per tempi lunghi nella dinamica delle popolazioni. Per un dominio arbitrario, si dimostra che ogni minimizzatore globale deve essere di tipo "bang-bang", trasformando così il problema in uno di ottimizzazione di forma. Successivamente, studieremo il caso unidimensionale nel contesto fornito in letteratura e in una versione generalizzata. Dopo aver ricordato che il problema di minimizzazione in dimensione generica $N$ non ammette insiemi ottimali sferici (nonostante alcune congetture basate su simulazioni numeriche), indagheremo se tali forme sferiche possano essere recuperate in un caso asintotico. Dimostriamo infatti che, quando la parte negativa del peso diverge, il problema di ottimizzazione di forma sopra descritto converge nel limite al cosiddetto "spectral drop problem" che, per opportune scelte del dominio $\Omega$, ammette insiemi ottimali sferici.