Morse theory and applications

This thesis aims to examine the homotopy type of the path space of a Riemannian manifold, which is an infinite-dimensional space, and for this reason it is challenging to study. To address this problem, we first develop Morse theory for finite-dimensional manifolds, which guarantees that a Riemannian manifold possessing a Morse function has the same homotopy type as a CW-complex, where each $\lambda$-cell corresponds to a critical point of index $\lambda$. Thereafter, we proceed applying Morse theory to a finite-dimensional manifold contained within the path space of energy less than a fixed positive number, which is also a deformation retract of that subspace of the path space. Furthermore, this finite-dimensional manifold faithfully approximates the path space, since it replicates its behavior with respect to the energy functional, namely it has the same critical points with the same indices. From this result, we are able to reconstruct the homotopy type of the whole path space for a complete Riemannian manifold, as stated in the Fundamental Theorem of Morse Theory. Additionally, we present interesting results about relations between curvature and topology of a Riemannian manifold, such as Cartan’s Theorem and Myers’ Theorem. In the last chapter, which focuses on applications of Morse theory, we prove a necessary condition for a compact, simply connected Riemannian manifold to be a Lie group, known as Bott’s Theorem.

Il seguente elaborato ha lo scopo di analizzare il tipo di omotopia dello spazio dei cammini di una varietà Riemanniana, il quale è uno spazio infinito dimensionale, e per questo motivo risulta ostico da studiare. Per approcciarsi a questo problema una via perseguibile è quella di sviluppare prima la Teoria di Morse per varietà finito-dimensionali, la quale ci garantisce che una varietà Riemanniana che possiede una funzione di Morse ha lo stesso tipo di omotopia di un CW-complesso, dove ogni $\lambda$-cella è data da un punto critico di indice $\lambda$. Dopodiché, procediamo applicando la Teoria di Morse ad una varietà finito-dimensionale contenuta nello spazio dei cammini con energia minore di un numero positivo fissato, che sia altresì un retratto per deformazione del sottospazio considerato. Inoltre, questa varietà finito-dimensionale rappresenta un'approssimazione fedele dello spazio considerato, in quanto emula il suo comportamento rispetto al funzionale energia, ossia tale che abbia gli stessi punti critici con gli stessi indici. Da questo risultato riusciamo a ricostruire l’omotopia dell’intero spazio dei cammini per una varietà Riemanniana completa, come affermato nel Teorema Fondamentale della Teoria di Morse. Infine, forniamo dei risultati interessanti che collegano la curvatura e la topologia di una varietà Riemanniana, come ad esempio il Teorema di Cartan ed il Teorema di Myres. Nell’ultimo capitolo, dedicato alle applicazioni della Teoria di Morse, proviamo una condizione necessaria per una varietà Riemanniana compatta e semplicemente connessa per essere un gruppo di Lie, che va sotto il nome di Teorema di Bott.