Stime di approssimazione mediante Neural Networks per problemi di reazione-diffusione perturbati singolarmente

In this work we study the approximation of singularly perturbed reaction diffusion problems using Neural Networks. These problems are challenging due to the presence of boundary layers as the perturbation parameter η becomes small. We present the DeepONet architecture, which is designed to approximate operators, and, in particular, we introduce the concept of nonlinear decoders. Building on this idea, we develop a mathematical analysis of error estimates, which is carried out through the regularity analysis of the solution uη of the singularly perturbed problem and the introduction of a transformation map φη. The estimates become independent of η in the transformed coordinate system. Through this reformulation, we establish convergence results for the Neural Network approximation error, showing exponential convergence of the error between uη and the Neural Network realization.

In questo lavoro studiamo l’approssimazione di problemi di reazione-diffusi one con perturbazioni singolari utilizzando reti neurali (o Neural Networks). Questi problemi risultano particolarmente complessi a causa della presenza di strati limite al tendere a zero del parametro di perturbazione η. Presenti amo l’architettura DeepONet, progettata per approssimare operatori, e intro duciamo in particolare il concetto di decodificatori non lineari. A partire da questa idea, sviluppiamo un’analisi matematica delle stime d’errore, condotta tramite lo studio della regolarità della soluzione uη del problema perturbato e l’introduzione di una mappa di trasformazione φη. Le stime ottenute risultano indipendenti da η nel sistema di coordinate trasformato. Attraverso questa ri formulazione, otteniamo risultati di convergenza per l’errore di approssimazione tramite le reti neurali, dimostrando una convergenza esponenziale dell’errore tra uη e la realizzazione della rete neurale.