Precondizionatori per il Metodo degli Elementi Finiti Immersi

One of the main challenges of the immersed finite element method is the adverse effect of small cut elements, causing ill-conditioned system matrices among other issues. This work explores the preconditioning techniques available in the literature, such as diagonal scaling, SIPIC, and Additive-Schwarz preconditioning, to mitigate the issue. Our contribution is a theoretical justification for the effectiveness of diagonal scaling in 1D for the Bernstein basis. Furthermore, we propose a strategy to improve the stability of the Additive-Schwarz preconditioner in 2D by incorporating diagonal scaling as a preliminary step, and then validate its performance through numerical experiments on different geometries.

Una delle principali sfide del metodo degli elementi finiti immersi è l'effetto negativo degli elementi della mesh che intersecano il dominio in una porzione molto piccola, il che causa, tra le altre problematiche, matrici di sistema mal condizionate. Questo lavoro esplora le tecniche di precondizionamento disponibili in letteratura, come diagonal scaling, SIPIC e Additive-Schwarz preconditioning, per mitigare il problema. Il nostro contributo consiste in una giustificazione teorica dell'efficacia del diagonal scaling in 1D per la base di Bernstein. Inoltre, proponiamo una strategia per migliorare la stabilità dell'Additive-Schwarz preconditioner in 2D, incorporando il diagonal scaling come fase preliminare, e ne validiamo le prestazioni attraverso esperimenti numerici su diverse geometrie.