Calcolo di Malliavin e Processi di Poisson: panoramica ed applicazioni

The aim of this work is to provide a self-contained text that introduces Malliavin-Stein techniques in a Poisson framework, working with tools from stochastic analysis towards central limit theorems. In order to achieve that, we will first introduce some basics of probability theory, such as the Central Limit Theorem and the Berry-Esseen Theorem, and a few fundamental properties of Poisson point processes. After that, we will present Stein's method, a very versatile tool to study normal proximity, and we will focus on the behavior of a specific group of functionals, the so-called U-Statistics, defined over the Poisson space. In the last chapter, we will focus on a specific model, the Gilbert graph, as well as some notable functionals defined over it that have been studied in literature. Lastly, we will add an original contribution related to the study of a family of functionals, namely the Area Power functionals over the Gilbert graph.

Questo elaborato si propone di offrire un'introduzione alle tecniche di Malliavin-Stein nel contesto dei processi di Poisson, con l’obiettivo di studiare alcuni teoremi del limite centrale attraverso strumenti propri dell’analisi stocastica. Dopo aver richiamato alcuni concetti fondamentali di teoria della probabilità, come il Teorema del Limite Centrale, il Teorema di Berry-Esseen e le principali proprietà dei processi di Poisson, si introduce il metodo di Stein, un approccio flessibile ed efficace per valutare la distanza tra la distribuzione di una variabile aleatoria e la distribuzione normale, applicato in particolare all’analisi di U-Statistiche definite nello spazio di Poisson. L’ultima parte del lavoro è dedicata allo studio del grafo di Gilbert, modello geometrico di riferimento, e di alcuni funzionali di rilievo associati ad esso. In chiusura, viene presentato un contributo originale riguardante lo studio di una famiglia di funzionali noti come Area Power functionals.