Generalizzazioni del Modello di Black-Scholes

This thesis explores two significant extensions of the Black-Scholes model in the field of quantitative finance: the local volatility model and the jump-diffusion model. While the Black-Scholes framework remains a benchmark in option pricing due to its relative simplicity, computational advantages and mathematical elegance, its assumptions of constant volatility and continuous asset price dynamics often fail to capture real-world phenomena such as volatility smiles and sudden price jumps. To address these limitations, the theoretical part of this work provides an investigation on the Dupire framework for local volatility and on one of the possible versions of the jump-diffusion model, which incorporates discontinuities in asset prices. The jump-diffusion model accounts for non-local variations in the price path and models their occurrence using a Poisson process. The numerical part of this thesis employs Monte Carlo simulation and numerical methods to model the underlying asset price trajectories using each framework and compute prices of European options. Additionally, the hedging options problem for the jump-diffusion model is addressed, and the associated hedging errors are quantified. For the local volatility model, numerical instabilities arising from the Dupire formula are mitigated by using implied volatility, which is smoothed to compute local volatility accurately. By combining theoretical rigor with computational implementation, this thesis aims to enhance the understanding and practical application of advanced option pricing models in financial markets.

Questa tesi esplora due estensioni significative del modello di Black-Scholes nel campo della finanza quantitativa: il modello a volatilità locale e il modello jump-diffusion. Sebbene l'approccio di Black e Scholes rimanga un punto di riferimento nella valutazione delle opzioni grazie alla sua relativa semplicità, al suo vantaggio computazionale e alla sua eleganza matematica, le sue ipotesi di volatilità costante e di dinamiche continue dei prezzi degli asset spesso non riescono a catturare fenomeni osservati nei mercati reali, come la forma a "smile" della volatilità e i salti improvvisi nei prezzi. Per affrontare queste limitazioni, la parte teorica di questo lavoro fornisce un'indagine sul modello a volatilità locale di Dupire e su una delle possibili versioni del modello con salti ( jump-diffusion), che incorpora discontinuità nei prezzi degli asset. Il modello jump-diffusion considera variazioni non locali nelle traiettorie dei prezzi e le rappresenta attraverso un processo di Poisson. La parte numerica della tesi utilizza metodi di simulazione Monte Carlo e metodi numerici per modellare le traiettorie dei prezzi degli asset sottostanti usando ciascun framework e per calcolare i prezzi delle opzioni Europee. Inoltre, il problema di copertura (hedging) relativo al modello jump-diffusion viene affrontato e gli errori di copertura vengono quantificati. Per il modello a volatilità locale, le instabilità numeriche derivanti dalla formula di Dupire sono mitigate utilizzando la volatilità implicita, che viene poi levigata per calcolare la volatilità locale. Combinando rigore teorico e implementazione computazionale, questa tesi mira a migliorare la comprensione e l'applicazione pratica di modelli avanzati di valutazione delle opzioni nei mercati finanziari.