Sulla dinamica Hamiltoniana del modello p+s misto

In this work we study the out-of-equilibrium dynamics of a classical disordered spin system evolving under Hamiltonian dynamics, completely isolated from the environment. This setting is relevant for understanding the relaxation processes of isolated many-body systems, inspired by recent developments in experiments with ultra-cold atoms and by theoretical models showing the breakdown of thermalization due to disorder. While Langevin dynamics includes dissipation and coupling to a thermal bath, Hamiltonian dynamics preserves energy and allows us to investigate how complex relaxation emerges purely from internal constraints and the structure of the energy landscape. We focus on the spherical p-spin (here, p indicates the number of spins interacting in each term of the Hamiltonian) and mixed p+s-spin models, deriving the Schwinger–Dyson equations for correlation and response functions using the Martin–Siggia–Rose–DeDominicis–Janssen formalism, and analyzing their evolution under equilibrium initial conditions. These equations are coupled to the one governing the time-dependent Lagrange multiplier that enforces the spherical constraint, a defining feature of the spherical p-spin model. This constraint ensures that all N spins composing the system remain confined to a hypersphere of radius √N throughout the dynamics, preventing divergences and enabling a well-defined thermodynamic limit. It also plays a crucial role in the Hamiltonian formulation, where the Lagrange multiplier must be computed self-consistently at all times to satisfy the constraint. The central part of the work is devoted to the mixed model with p = 2 and s = 3, viewed as a perturbation of the integrable p = 2 case (and vice versa). The motivation for this analysis lies in the well-established connection between integrability, ergodicity, and thermalization: integrable systems possess an extensive number of conserved quantities that prevent relaxation to thermal equilibrium, while small perturbations can lead to chaotic dynamics and ergodic behavior. This connection has been extensively studied in the past, especially in the context of perturbed Hamiltonian systems such as the Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou problem and Kolmogorov–Arnold–Moser theory. Here, we investigate how this picture extends to high-dimensional disordered systems described by mean-field models, and how integrability breaking influences the long-time dynamics of observables. The main contribution of this thesis is the proposal and validation of a new evolution equation for the Lagrange multiplier. This formulation is essential for ensuring numerical stability and accuracy, and it is a necessary step to successfully integrate the Schwinger–Dyson equations in the mixed p + s case, extending previous results known for the pure p-spin model. After benchmarking the method against known results for p = 2 and p = 3 in the high-temperature regime of the initial condition, we apply it to the mixed model and obtain new results in the same regime. In this work, we introduced a Hamiltonian model with mixed integrable and non-integrable interactions, and analyzed its structure as a starting point to study the interplay between integrability and ergodicity in isolated systems. Although a full dynamical analysis is left for future work, the model provides a controlled framework to investigate how thermalization may—or may not—emerge in the long-time dynamics of isolated, disordered systems.

In questo lavoro studiamo la dinamica fuori equilibrio di un sistema di spin classico disordinato, la cui evoluzione è governata da una dinamica Hamiltoniana completamente isolata dall’ambiente. Questo scenario è rilevante per comprendere i processi di rilassamento in sistemi isolati a molti corpi, ispirati dai recenti sviluppi sperimentali sugli atomi ultrafreddi e da modelli teorici che mostrano la rottura della termalizzazione indotta dal disordine. Mentre la dinamica di Langevin include dissipazione e accoppiamento a un bagno termico, la dinamica Hamiltoniana conserva l’energia e consente di indagare come l’evoluzione complessa emerga esclusivamente da vincoli interni e dalla struttura del paesaggio energetico. Ci concentriamo sia sul modello p-spin (dove p indica il numero di spin interagenti in ogni termine dell’Hamiltoniana), sia sul modello misto sferico p+s, derivando le equazioni di Schwinger–Dyson per la funzione di correlazione e per la funzione di risposta tramite il formalismo di Martin–Siggia–Rose–DeDominicis–Janssen, e analizzandone l'evoluzione a partire da condizioni iniziali di equilibrio. Queste equazioni sono accoppiate a quella che governa l’evoluzione tempo-dipendente del moltiplicatore di Lagrange che impone il vincolo sferico lungo tutta la dinamica. Si tratta di una caratteristica fondamentale del modello p-spin sferico: tale vincolo garantisce che tutti gli N spin che compongono il sistema rimangano confinati su un’ipersfera di raggio √N durante l’intera evoluzione, prevenendo divergenze e consentendo la definizione di un limite termodinamico ben posto. Questo vincolo riveste inoltre un ruolo cruciale nella formulazione Hamiltoniana, in cui il moltiplicatore di Lagrange deve essere determinato in modo autoconsistente a ogni istante per soddisfare la condizione di vincolo. La parte centrale di questo lavoro è dedicata al modello misto con p = 2 e s = 3, interpretato come una perturbazione del caso integrabile p = 2 (e viceversa). La motivazione di questa analisi risiede nella ben nota connessione tra integrabilità, ergodicità e termalizzazione: i sistemi integrabili possiedono un numero estensivo di quantità conservate che impediscono il rilassamento verso l’equilibrio termico, mentre piccole perturbazioni possono generare dinamiche caotiche e comportamento ergodico. Tale connessione è stata ampiamente studiata in passato, in particolare nel contesto dei sistemi Hamiltoniani perturbati, come nel problema di Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou e nella teoria di Kolmogorov–Arnold–Moser. In questo contesto, ci proponiamo di indagare in che modo tale quadro si estenda a sistemi disordinati ad alta dimensionalità descritti da modelli mean-field, e come la rottura dell’integrabilità influenzi la dinamica a lungo tempo delle osservabili. Il principale contributo di questa tesi consiste nella proposta e validazione di una nuova equazione di evoluzione per il moltiplicatore di Lagrange. Tale formulazione è essenziale per garantire stabilità e accuratezza numerica, e rappresenta un passaggio necessario per integrare con successo le equazioni di Schwinger–Dyson nel caso misto p + s, estendendo i risultati precedentemente noti per il modello p-spin puro. Dopo aver validato il metodo confrontandolo con i risultati noti per p = 2 e p = 3 nel regime ad alta temperatura della condizione iniziale, lo applichiamo al modello misto ottenendo nuovi risultati nello stesso regime. In questo lavoro abbiamo introdotto un modello Hamiltoniano con interazioni miste, integrabili e non integrabili, e ne abbiamo analizzato la struttura come punto di partenza per lo studio dell’interazione tra integrabilità ed ergodicità nei sistemi isolati. Sebbene un’analisi dinamica completa sia lasciata a futuri sviluppi, il modello fornisce un quadro controllato per indagare in che modo la termalizzazione possa — o meno — emergere nella dinamica a lungo tempo di sistemi isolati disordinati.