Teoria delle grandi deviazioni e il modello di Curie-Weiss con campo esterno costante e aleatorio

Large deviations theory is a powerful tool for studying rare events in probabilistic systems and has become a key concept in the rigorous mathematical treatment of statistical mechanics. This thesis aims to provide an overview of the large deviation principle (LDP) with two main goals: to clarify its theoretical foundations, and to apply this framework to the study of phase transitions in the Curie–Weiss model, a classic mean-field spin system of ferromagnetism. The first part introduces the formal setting of the LDP for families of probability measures on Polish spaces and discusses Cramér’s Theorem as a canonical example for sums of i.i.d. random variables. The second part presents a selection of advanced techniques central to the application of large deviation theory, including Varadhan’s Lemma, which relates LDPs to the asymptotics of exponential integrals, and its inverse, Bryc’s Theorem. In the final section, these theoretical tools are applied to the Curie–Weiss model, considering both the case with a constant external magnetic field and with a random external field.

La teoria delle grandi deviazioni è uno strumento importante per lo studio degli eventi rari nei sistemi probabilistici ed è diventata un concetto chiave nel trattamento matematico rigoroso della meccanica statistica. Questa tesi si propone di offrire una panoramica del Principio delle Grandi Deviazioni (LDP), con due obiettivi principali: chiarirne i fondamenti teorici e applicare questi concetti allo studio delle transizioni di fase nel modello di Curie–Weiss, un sistema classico di spin a campo medio che descrive i materiali ferromagnetici. La prima parte introduce formalmente il Principio delle Grandi Deviazioni per famiglie di misure di probabilità su spazi polacchi, e discute il Teorema di Cramér come esempio canonico per somme di variabili aleatorie i.i.d. La seconda parte presenta una serie di tecniche avanzate, centrali per l'applicazione della teoria delle grandi deviazioni, tra cui il Lemma di Varadhan, che collega il LDP ai limiti degli integrali esponenziali, e il suo inverso, il Teorema di Bryc. Nella sezione finale, questi strumenti teorici vengono applicati al modello di Curie–Weiss, considerando sia il caso con campo magnetico esterno costante che quello con campo esterno aleatorio.